27.Мировые и экранные координаты. Основные типы проекций.

Система координат (СК) – совокупность базисных (линейно независимых) векторов и единиц измерения расстояния вдоль этих векторов (e₁, e₂, …, e_n).

Если базисные вектора нормированы (единичной длины) и взаимно ортогональны, то такая СК называется декартовой (ДСК).

Мировая система координат (МСК) – xyz – содержит точку отсчета (начало координат) и линейно независимый базис, благодаря которым становится возможным цифровое описание геометрических свойств любого графического объекта в абсолютных единицах.

Экранная система координат (ЭСК) – x_эy_эz_э. В ней задается положение проекций геометрических объектов на экране дисплея. Проекция точки в ЭСК имеет координату z_э = 0. Тем не менее, не следует отбрасывать эту координату, поскольку МСК и ЭСК часто выбираются совпадающими, а, вектор проекции [x_э, y_э, 0] может участвовать в преобразованиях, где нужны не две, а три координаты.

Система координат сцены (СКС) – x_сy_сz_с –  описывает положение всех объектов сцены - некоторой части мирового пространства с собственным началом отсчета и базисом, которые используются для описания положения объектов независимо от МСК.

Объектная система координат (ОСК) – x_оy_оz_о – связана с конкретным объектом и совершает с ним все движения в СКС или МСК.

Правая ДСК – оси ориентированы так, что вращение ортов происходит в положительном направлении (против часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося на конце третьего свободного орта):

Левая ДСК – оси ориентированы так, что вращение ортов происходит в отрицательном направлении.

В двумерном пространстве (R²) наиболее распространены декартова СК (x, y) и полярная СК (r, φ) (r – радиус-вектор точки, φ – угол поворота).

Соотношение между ДСК и ПСК:

В трехмерном пространстве (R³):

● ортогональная декартова СК (x, y, z);

● цилиндрическая СК (ρ, y, φ);

● сферическая СК (r, φ, ω).

Соотношение между декартовой СК и цилиндрической СК:

Соотношение между декартовой СК и сферической СК:

Соотношение между цилиндрической СК и сферической СК:

28.Модели описания поверхностей. Аналитическая модель.

Аналитической моделью называется описание поверхности математическими формулами:

z=f(x,y) – описание с помощью функции,

F(x,y,z)=0 – описание с помощью неявного уравнения.

Зачастую используется параметрическая форма описания поверхности:

где s и t – параметры, которые изменяются в определенном диапазоне, а функции F_x, F_y и F_z определяют форму поверхности.

Преимущество параметрической формы заключается в легкости описания поверхностей, которые отвечают неоднозначным функциям, и замкнутых поверхностей.

Параметрическое описание можно задать таким образом, что формула не будет существенно изменяться (усложняться) при поворотах поверхности, и ее масштабировании.

В качестве примера рассмотрим аналитическое описание поверхности шара.

— явная функция двух аргументов,

x2 + y2 + z2 -R2 = 0 — неявное уравнение,

x = R sin s cos t, y = R sin s sin t, z = R cos s — в параметрической форме.

Для описания сложных поверхностей часто используют сплайны. Сплайн – это специальная функция для аппроксимации отдельных фрагментов поверхности. Несколько сплайнов образуют модель сложной поверхности. Иными словами, сплайн – это тоже поверхность, но такая, для которой можно достаточно просто вычислять координаты ее точек. В трехмерной графике обычно используют кубические сплайны по двум основным причинам:

– третья степень – наименьшая из степеней, позволяющих описывать любую форму;

– при стыковке сплайнов можно обеспечить непрерывную первую производную – такая поверхность будет без изломов в местах стыка.

Сплайны, как правило, задают параметрически.

Рассмотрим одну из разновидностей сплайнов – сплайн Безье. В обобщенной форме (степени m*n):

где P_ij – опорные точки-ориентиры, 0  s  1, 0  t  1, C_mⁱ и C_n^j – коэффициенты бинома Ньютона, которые рассчитываются по формуле

Кубический сплайн Безье соответствует значениям m=3, n=3. Для его определения необходимо 16 точек-ориентиров P_ij; коэффициенты C_mⁱ и C_n^j равны 1, 3, 3, 1 при i, j = 0, 1, 2, 3.

Аналитическая модель наиболее пригодна для многих операций анализа поверхностей.

Достоинства модели (с позиций КГ):

● легкость расчета координат каждой точки поверхности, нормали;

● небольшой объем данных для описания достаточно сложных форм.

Недостатки:

● сложность формул описания с использованием функций, которые медленно вычисляются на компьютере, снижают скорость выполнения операций отображения;

● невозможность в большинстве случаев применить данную форму описания непосредственно для изображения поверхности - поверхность отображается как многогранник, координаты вершин и граней которого рассчитываются в процессе отображения, что уменьшает скорость сравнительно с полигональной моделью описания.