Является ли множество точек , удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
Да, очевидно, что это равенство задаёт линейную полуплоскость в R4.
Обоснуем это по оределению:
Рассмотрим любые две точки этого пространства
A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X,
удовлетворяющие вышеуказанному неравенству.
Рассмотрим произвольную точку M = αA + (1 − α)B, где α ∈ [0; 1] – произвольное значение параметра. ТогдаM(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B
m1 = αa1 + (1 − αb1)
m2 = αa2 + (1 − αb2)
m3 = αa3 + (1 − αb3)
m4 = αa4 + (1 − αb4)
Проверим для точки M(m1,m2,m3,m4) принадлежность к множеству X с помощью
выполнимости заданного неравенства:
5 + 2m1 + 3m2 − m3 + 5m4 ≥ 0
5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0
Представим 5 = α5+(1−α)5, раскроем и сгруппируем слагаемые для ai и bi. Получим:
α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0
Так как точки A,B лежат в множестве X, то их координаты удовлетворяют неравенству,
задающему множество. Значит, оба слагаемых неотрицательны в силу неотрицательности
α и 1 − α. Поэтому последнее неравенство выполнено для любых A,B и любого значения
параметра α ∈ [0; 1]. По определению мы показали, что данное множество X является
выпуклым.
Является ли множество точек удовлетворяющих условию , выпуклым? Ответ обоснуйте.
Да, очевидно, что это равенство задаёт линейную гиперплоскость в R4.
Обоснуемэто по оределению:
Рассмотрим любые две точки этого пространства
A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X
удовлетворяющие вышеуказанному равенству.
Рассмотрим произвольную точку M = αA + (1 − α)B, где α ∈ [0; 1] – произвольное значение параметра. Тогда M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B
m1 = αa1 + (1 − αb1)
m2 = αa2 + (1 − αb2)
m3 = αa3 + (1 − αb3)
m4 = αa4 + (1 − αb4)
Проверим для точки M(m1,m2,m3,m4) принадлежность к множеству X с помощью
выполнимости заданного равенства:
m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55
(αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые для ai и bi. Получим:
α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55
Так как точки A,B лежат в множестве X, то их координаты удовлетворяют равенству,
задающему множество, то есть (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 и (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55.
Подставив эти равенства в последнее выражение получим:
α55 + (1 − α)55 = 55
Последнее равенство выполнено для любых A,B и любого значения параметра α ∈ [0; 1]. По определению мы показали, что данное множество X является выпуклым.
Приведите примеры выпуклого множества: а) имеющего угловую точку; б) не имеющего угловой точки. Может ли не ограниченное выпуклое множество иметь угловую точку? Приведите пример.
а) квадрат имеет 4 угловые точки
б) окружность не имеет угловых точек
в)
неограниченное множество может иметь
угловые точки:
имеет
одну угловую точку (0;0)