1. Линейные пространства

1. Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств.

Опр. Линейное пространство - это множество элементов, для которого определены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Указанные операции должны удовлетворять следующим условиям:

1) a + b = b + a 2) (a + b)+c = a+(b + c) 3) a + 0 = a 4) a + (-a) = 0 5) k (a + b) = ka + kb 6) (k + m) a = ka + ma 7) k(ma) = (km)a 8) 1*a = a

Где a, b, c – произвольные векторы; k, m – произвольные действительные числа

Примеры линейных пространств:

1) пространство Rⁿ;

2) множество решений однородной системы линейных уравнений;

3) множество функций, определенных на отрезке [a;b], с заданными для них обычным образом операциями сложения и умножения на число;

4) множество положительных чисел, если операцию сложения двух элементов x и y определить как их произведение (понимаемое в обычном смысле), а операцию умножения х на действительное число k - как возведение x в степень k;

5) множество всех многочленов с заданными для них стандартным образом операциями сложения и умножения на число;

6) множество всех многочленов, степень которых не превышает n.

2. Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно зависима система, включающая нулевой вектор? Ответ обоснуйте.

Система векторов а₁, а₂ и а_m называется линейно зависимой, если существуют такие числа с₁, с₂, с_m (не равные нулю одновременно) и выполняется равенство:

с₁ā₁+с₂ā₂+...+с_mā_m =0.

Пример:

а₁ = (2, 2, 3) а₂ = (0, -4, 5) а₃ = (3, 13, -8) – система векторов.

Пусть с₁ = 3, с₂ = -5, с₃ = -2, тогда 3а₁ - 5а₂ - 2а₃ = (6, 6, 9) – (0, -20, 25) – (6, 26, -16) = (0, 0, 0)

Вывод: система векторов линейно зависимая.

Утверждение: Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Следствие: Система, включающая нулевой вектор, линейно зависима.

Док-во: Пусть дана система из трех векторов а₁, а₂, а₃ , причем часть системы, состоящая из векторов а₂, а₃ – линейно зависима, т. е. справедливо равенство: с₂ а₂ + с₃ а₃ = 0; с₂, с₃ ≠ 0. Добавим к обеим частям нулевой вектор а₁, получим: 0а₁ + с₂ а₂ + с₃ а₃ = 0, что означает линейную зависимость такой системы.

1. Система из одного вектора а линейно зависима тогда когда а=0

2. Система содержащая более одного вектора линейно зависима в том и только в том случае когда среди данных векторов имеется такой который линейно выражается через все остальные

3. Если часть системы линейно зависима то и вся система линейно зависима, система включающая нулевой ветор линейно зависима

4. Если система линейно независима но при добавлении к ней а становится зависимой то а линейно выражается через другие векторы

3. Дайте определение линейно независимой системы векторов. Приведите примеры. Будет ли линейно независимой лестничная система векторов? Ответ обоснуйте.

Система векторов ā1,ā2,…,ām такова, что равенство с1ā1+с2ā2+...+сmām =0 возможно только при с1=c2=,..,=с3=0, то эта система называется линейно независимой.

Пример:

а = (а₁, а₂, …, а_n) b = (0, b₂,…, b_n) c = (0, 0, c₃, …, c_n) – лестничная система векторов.

Любая лестничная система векторов линейно независима.

Док-во: От противного. Предположим, что лестничная система векторов линейно зависима. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть а выражается через b и c. Тогда: а = kb + mc Но такое равенство невозможно, так как первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора kb + mc равна нулю. Данное противоречие доказывает, что система векторов а, b, c – линейно независима.

Примеры:

• Система векторов ·i, j линейного пространства R2 геометрических радиусов векторов плоскости линейно независима.Действительно.

i = (1, 0), j = (0, 1), С1·i + С2· j = (С1, С2), а из (С1, С2) = 0 следует, что С1 = 0 и С1 = 0, т.е. система векторов i, j из R2 линейно независима.

• В линейном арифметическом пространстве Rn рассмот-

рим n векторов e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0, 0), ..., e n = (0, 0,.., 0, 1). До-

кажем, что система этих векторов линейно независима.

Так как для любых коэффициентов α1, α2, ..., αn линейная комбина-

ция α1 e 1 + α2 e 2 + ... + αn e n = (α1, α2, ..., αn), то ясно, что она может быть

равна нулевому вектору (0, 0, ..., 0) только при условии равенства нулю

всех коэффициентов. По определению, это означает, что система векторов

линейно независима.