3. Вычисления и запись результатов, правила округления, понятие о точности вычислений

Ознакомившись с видами погрешностей, которые встречаются при измерениях физических величин, покажем на конкретном примере, какова должна быть последовательность действий от проведения опыта до получения конкретного результата. Пусть дано задание определить плотность материала металлического цилиндра. Плотность, как известно, равна: p = m/V. Объем цилиндра вычисляем по формуле:

рабочая формула для нахождения плотности в данном конкретном случае имеет вид:

Таким образом, для определения плотности необходимо провести прямые измерения величин m, D, l, а затем по формуле рассчитать значение плотности цилиндра. Число измерений не должно быть очень большим, минимальное число измерений равно 3. Обычно проводят от 3 – 7 измерений. В нашем случае диаметр D цилиндра определяли с помощью микрометра, длину l - штангенциркулем, а массу – взвешивали на аналитических весах. Результаты измерений занесены в таблицу.

Вид таблицы должен быть заранее продуман и занесен в бланк лабораторной работы (табл. 1).

Таблица 1

Таблица опытных и расчетных измерений

№ измерения	D, мм	∆D, мм	l, мм	∆ l, мм	m, г	∆m, г
1 2 3
Среднее значение

4. Правила округления чисел

1. При округлении оставляют лишь первые знаки числа, все прочие отбрасывают.

2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5, то при округлении просто отбрасывают эти цифры (например, число 18,542 округляем так: 18,54; 18,5).

3. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5 или равна 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля, то при округлении последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу (например, число 35,273 после округления будет таким: 35,3; число 42,378 после округления примет вид 42,38 или 42,4)

4. Если отбрасываемая цифра равна 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число (например, 57,435 – после округления 57,44; 62,265 после округления 62,26)

При записи погрешности следует округлять ее величину до двух значащих цифр, если первая из них является единицей, и до одной из значащей цифры во всех остальных случаях. При записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного ряда, который использован при указании погрешности. Так например, можно записать:

8732 14; 2745 9; 2750 30; 42,3 0,4; 24,52 0,05 и т.д.

Нельзя записать окончательный результат в таком виде:

8732,5 14; 2745 9,5; 2750 36; 42,37 0,4; 24,52 0,48 и т.д.

Все эти записи содержат ошибку, и в этом каждый может убедиться.

5. Оценка погрешности прямых измерений

Пусть проводятся многократные измерения физической величины X (например, Х – диаметр подшипника в серии, которая содержит n подобных изделий). Результаты измерений величин Х запишутся в виде следующего ряда: Х1, Х2,…, Хi, Xn. Это случайная дискретная величина Хi и каждое измерение ее содержит случайную погрешность ∆ Хi. Известно [2,3], что наилучшей оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое из результатов измерений

Само истинное значение Х_ист измеряемой величины (при отсутствии систематической погрешности) равно пределу, к которому стремится ряд средне арифметических при большом числе измерений (n→∞):

Погрешность отдельного измерения является величина ∆Х_i = X_i - , а серии измерений – среднее квадратическое отклонение , которое находится с помощью следующего выражения:

Результаты измерений, полученные в лаборатории, помимо случайной погрешности содержат также систематическую погрешность.

Многие приборы (манометры, амперметры, вольтметры и др.) нормируются по приведенной погрешности γ = 100%. Здесь δ- предел допускаемой систематической погрешности, Х_max – верхний предел измерений прибора. Применяются следующие классы точности таких приборов: 0,1; 0,2; 0,5; 1.0; 1,5; 2,5; 4,0. Обозначение класса точности прибора записывается по его шкале в виде соответствующих цифр (не заключенных в кружок). Например, для амперметра класса 0,5 на диапазоне l = 2A допускаемая погрешность:

Измерительные приборы могут быть нормированы и по относительной погрешности θ, т.е. погрешности, выраженной в процентах от действительного значения измеряемой величины:

, здесь X – значение измеряемой величины . Обозначение класса точности изображается на шкале такого прибора соответствующими цифрами, заключенными в кружок.

Если класс точности прибора не указан (такими приборами могут быть: линейка, микрометр, термометр), то предельная систематическая погрешность обычно берется равной половине цены деления прибора. В случае, если используется прибор, стрелка которого перемещается неравномерно, а «скачками» (например, у ручного секундомера), предельную систематическую погрешность считают равной цене деления шкалы.

Суммируя сказанное выше о погрешностях прямых измерений, приведем порядок обработки результатов прямых измерений (с.14).

1. Пользуясь формулой (1), вычисляем среднее арифметическое из результатов наблюдений, это значение принимаем за окончательный результат прямых измерений.

2. Оцениваем среднее квадратическое отклонение результата измерения, пользуясь формулой (2).

3. Определяем значение случайной погрешности при малом числе измерений:

где t (p) – коэффициент Стьюдента; это положительный коэффициент, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности p.

для p=0,95 и n = 5 величина t₅ (0,95) = 2,78 для числа измерений n = 3 величина t₃ (0,95) = 4,3

4. Оцениваем предельную систематическую погрешность σ_x средств измерений по классу точности прибора

5. Сравниваем по модулю значение случайной погрешности ∆x и придельной систематической погрешности σ_x и для расчетов выбираем наибольшее.

Результаты измерений представляются в виде