Вопрос № 16 Центр масс твёрдого тела. Теорема о движении центра масс твёрдого тела.

Абсолютно твердое тело – это тело, деформацией которого можно пренебречь.

Центром масс (или центром инерции) системы называется точка С, положение которой задается радиусом-вектором

Скорость центра масс:

Разбив тело на элементарные массы т_i , можно представить его как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным.

где – результирующая всех внутренних сил, a – результирующая всех внешних сил, приложенных к данной элементарной массе. Сложив это уравнение для всех элементарных масс, получим выражение

Продифференцируем соотношение дважды

Теорема о движении центра масс: Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.

Вопрос № 17

Вращение абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции твёрдого тела. Уравнение движения

для проекции момента импульса.

Р ассмотрим абсолютно твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц (материальных точек) с неизменными расстояниями между ними.

Возьмем на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело частиц с помощью радиусов-векторов. Момент импульса i час-тицы относительно точки О равен где R_i — расстояние частицы от оси вращения. Модуль вектора пропорционален скорости вращения тела w; направление же вектора от w не зависит — этот вектор лежит в плоскости, проходящей через ось вращения и частицу т_i, и перпендикулярен к .

Для всех образующих тело частиц угол между векторами и является острым. Поэтому проекции этих векторов на совпадающую с осью вращения ось z имеют одинаковые знаки.

Просуммировав этот выражение по всем частицам, получим момент импульса тела относительно оси z, совпадающей с осью вращения:

Величина I, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси: Полученная формула аналогична формуле р_z = mu_z. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Это уравнение аналогично уравнению ma_z = åF_z. Роль массы играет момент инерции, роль линейного ускорения — угловое ускорение, роль результирующей силы — суммарный момент внешних сил.

Р ассмотрим вектор момента импульса тела относительно точки О

В общем случае вектор не совпадает по направлению с осью вращения тела z и поворачивается вместе с телом вокруг этой оси.

Из соображений симметрии ясно, что для однородного тела, симметричного относительно оси, момент импульса относительно точки О, лежащей на оси вращения, совпадает по направлению с вектором . В этом случае модуль момента импульса М равен |M_z| — модулю проекции на ось z.

Это соотношение имеет место лишь в случае тела, вращающегося вокруг оси симметрии.