Вопрос № 10 Кинетическая энергия и работа. Формы записи выражения для работы. Работа результирующих нескольких сил.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы (материальной точки). Уравнение движения частицы: Здесь F — результирующая сил, действующих на частицу. Умножаем уравнение на ds (вектор перемещения).

где – проекция вектора на направление вектора . Эта проекция равна du – приращению модуля вектора скорости.

Кинетическая энергия частицы:

В случае изолированной частицы F=0 кинетическая энергия является интегралом движения (не изменяется).

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению .

где dA - работа, совершаемая силой F на пути ds.

это работа силы F на пути 1-2.

Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:

Рассмотрим работу более подробно. dA = F cos a ds.

где a — угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cosa  > 0), работа положительна. Если угол a тупой (cosa < 0), работа отрицательна. При a = p/2 работа равна нулю.

Элементарная работа dA = F_sds численно равна площади заштрихованной полоски, а работа А на пути 1-2 численно равна площади фигуры, ограниченной кривой F_s(s) вертикальными прямыми 1 и 2 и осью s.

Работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

Вопрос № 11 Консервативные силы. Работа консервативных сил на примере силы тяжести. Работа центральных сил.

Кроме взаимодействий между соприкасающимися телами, наблюдаются также взаимодействия между телами, удаленными друг от друга. Такие взаимодействия осуществляются посредством физических полей. Каждое тело создает в окружающем его пространстве силовое поле. Это поле проявляет себя в действии сил на другие тела. Поле сил называется центральным, если направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит только от расстояния до этого центра: F = F(r). Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по модулю и направлению ( = const), поле называется однородным. Поле, остающееся постоянным во времени называется стационарным. Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути, по которому двигалась частица. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными.

Р азобьем произвольный замкнутый путь на две части. Работа на всем замкнутом пути равна сумме работ, совершаемых на каждом из участков: (A₂₁)_II=-(A₁₂)_II. Изменение направления движения на обратное приводит к замене на , и значение интеграла изменяет знак на обратный. поскольку работа не зависит от пути, т. е. (A₁₂)_I = (A₁₂)_II, мы приходим к выводу, что А = 0.

Консервативные силы можно определить двумя способами:

1) как силы, работа которых не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое;

2) как силы, работа которых на любом замкнутом пути равна нулю.

Сила тяжести является консервативной. Эта сила в любой точке имеет одинаковый модуль и одинаковое направление — вниз по вертикали

Это выражение не зависит от пути; отсюда следует,

что сила тяжести консервативна.

Любые центральные силы консервативны.

проекция на направление силы в данном месте, т. е. на направление радиуса-вектора , равна dr — приращению расстояния частицы от силового центра О: ds_F = dr, dA = F(r) dr Это выражение зависит только от вида функции F(r) и от значений r₁ и r₂. От вида траектории оно никак не зависит, откуда следует, что силы консервативны. Неконсервативными силами являются силы трения так как сила трения и скорость частицы имеют противоположные направления, работа силы трения на каждом участке пути отрицательна Будет отрицательной (т. е. отличной от нуля) и работа на любом замкнутом пути - силы трения не консервативны.