19. Переходной процесс в цепи r, l. Установившаяся и свободная составляющие при включении в цепь r, l синусоидальной эдс.

Рассмотрим теперь процесс подключения R-L цепи к источнику переменной синусоидальной ЭДС (рис. 4 а)).

Ток после коммутации в соответствии с выражением (1).

(5)

Установившееся значение iу определяется по закону Ома как

, (6)

где y - фаза напряжения на входе цепи в момент коммутации, а j = arctg(w L/R) .

До коммутации ток в цепи был равен нулю, поэтому из выражений (5) и (6) можно найти постоянную I

,

следовательно, полный ток в цепи после коммутации

. (7)

Таким образом, ток в цепи состоит из двух составляющих - установившегося периодического синусоидального тока и свободного, уменьшающегося по экспоненте с постоянной времени t = L/R (рис. 4 б)). В результате, ток в некоторые моменты времени превышает амплитудное значение установившегося тока.

Начальное значение свободной составляющей тока I_msin(   ) зависит от момента включения  . При  = +(k+1/2) (k = 0, 1, 2 ) ток через полпериода после коммутации (рис. 4 в)) достигает максимального значения, равного I_max=I_m[1+e  ^t/(  )]. Значение e  ^t/(  )<1, поэтому и максимум не превышает двойной амплитуды установившегося тока. Конкретное значение зависит от частоты источника питания  и постоянной времени  . При    и/или   I_max  2.

При  =  + k (k = 0, 1, 2 ) свободный ток в момент коммутации равен нулю и переходный процесс отсутствует. В цепи сразу после коммутации возникает установившийся режим. Эта особенность переходных процессов на переменном токе используется в устройствах детерминированного включения. В них момент включения нагрузки выбирают таким образом, чтобы уменьшить или исключить большие значения тока, напряжения или других параметров.

20. Переходный процесс в цепи r, с. Установившаяся и свободная составляющие при включении в цепь r, с постоянной эдс. Заряд конденсатора.

Перейдем к рассмотрению переходных процессов в цепи с последовательным соединением резистора R и емкости C. По второму закону Кирхгофа для этой цепи Ri + u_C = u.

Ток в емкости можно представить в виде i = CduC/dt. Отсюда

.

Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также можно представить суммой свободной и установившейся составляющих uC = uу + uс. Свободную составляющую найдем из решения однородного уравнения (u = 0) в виде uс = Uept. Подставим это выражение в уравнение и найдем значение p

Выражение RCp + 1 = 0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на pk, где k - порядок производной.

Отсюда общее решение для напряжения на емкости u_C = u_у + u_с= u_у + Ue ^t/ , (8)

где U - постоянная интегрирования, определяемая из начальных значений;   = 1/|p| = RC- постоянная времени переходного процесса.

Рассмотрим процесс подключения последовательной R-C цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 5 а)).

В отличие от индуктивности, емкость после накопления заряда может длительное время сохранять его. Поэтому начальное значение напряжения на емкости U0 может быть произвольным и иметь произвольный знак по отношению к ЭДС источника.

Установившееся значение напряжения на емкости после замыкания ключа S всегда будет равно E, т.к. на постоянном токе в установившемся режиме  du_C/dt = 0 и i = Cdu_C/dt = 0, а u_C = u  Ri = E  Ri = E.Поэтому из выражения (8) напряжение на емкости в общем виде будет равно

u_C = u_у + u_с= E + Ue ^t/ . (9)

Пусть напряжение на емкости до коммутации было uC(0- ) = ± U0 (знак + соответствует полярности напряжения на рис. 5 а) без скобок). Тогда из (9) для момента времени непосредственно после замыкания ключа найдем постоянную U

,

а затем и выражение для напряжения на емкости в виде

(10)

где t = RC - постоянная времени переходного процесса.

Отсюда можно найти ток в цепи и падение напряжения на резисторе (11)

На рис. 5 б)-г) приведены временные диаграммы переходного процесса подключения R-C цепи к источнику постоянной ЭДС для трех вариантов начальных значений напряжения на емкости: 1) E > U0 > 0 ; 2) E < U0 и U0 > 0; 3) U0 < 0 Во всех случаях напряжение на емкости монотонно по экспоненте изменяется отU0 до E. В то время как ток и напряжение на резисторе в момент коммутации скачкообразно изменяются на величину пропорциональную разности или сумме E и U0, а затем монотонно уменьшаются до нуля. При этом, если E < U0, то ток и падение напряжения на R отрицательны, т.е. происходит разряд емкости.