23. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом обратной матрицы. Схема решения слу методом обратной матрицы.

Теорема. Если в СЛУ квадратная матрица системы невырождена, то система уравнений имеет единственное решение, равное вектору

24. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Прямой и обратный ходы метода Гаусса.

Путем последовательных исключений неизвестных с помощью элементарных преобразований система превращается в ступенчатую систему, равносильную данной. Далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения неизвестных: начиная с последних по номеру переменных, находят все остальные.

Переход системы к ступенчатому виду называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из этой системы – обратным ходом.

25. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом замещения. Суть метода замещения.

Метод замещения основан на методе Гаусса. Данный метод решения систем линейных уравнений состоит в преобразовании расширенной матрицы системы (A|B) к виду, при котором r переменных образуют диагональную (в частности, единичную) матрицу, что позволяет сразу, без дополнительных преобразований получить решение системы.

26. Однородные системы линейных уравнений. Критерий наличия ненулевого решения ослу Следствия теоремы.

Определение. Система m линейных уравнений с n переменными называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. Теорема (Критерий наличия ненулевого решения СЛОУ). СЛОУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг системы меньше числа неизвестных: r<n.

Следствие 1. Если число уравнений СЛОУ меньше числа неизвестных, то она имеет ненулевые решения.

Следствие 2. СЛОУ n×n имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю.

27. Решение ослу. Свойства решений ослу. Фундаментальная система решений. Правило нахождения фср ослу.

Свойства решений ОСЛУ.

Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) СЛОУ называется любой базис множества Е всех решений этой системы.

Правило нахождения ФСР ОСЛУ находят r(A); r базисных (основных) переменных x₁;x₂;…;x_n выражают через n–r свободные (неосновные) переменные x_r+1;x_r+2;…;x_n поочередно заменяют n-r свободных переменных элементами каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n-r, например, единичной Е_n-r. объединяя значения для свободных и базисных переменных, получаем ФСР.

28. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений через соответствующую ей систему однородных уравнений.

33. Сопряженные и самосопряженные операторы.

40. Понятие вектора. Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Геометрическим вектором а (вектора подчеркиваются сверху!!!) называется отрезок который характеризуется длиной и направлением. Каждый вектор задается с помощью координат а(а₁,а₂,…а_n). Модулем вектора называется величина а = корень из а₁²+а²₂+…+а_n². Если вектора (с – принадлежит) асR², то направляющие косинусы, это углы, котрые образуют направление данного вектора с положительными направлениями осей коодинат.

42. Коллинеарные векторы. Ортогональные векторы. Условие ортогональности векторов.

Два вектора называются коллинеарными если они сонаправлены или противоположнонаправленные. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны. Два ненулевых n-мерных вектора ортогональны (или перпендикулярны) тогда и тотлко тогда, когда угол между ними равен 90. Два векора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное проивзедение равно 0.

41. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Скалярным проиведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: ab=|a|*|b|*cos «фи» Чтобы определить угол между векторами, находим cos этих векторов используя формулу: cos(a;b)= a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n разделить на корень a₁²+a₂²+…+a_n² + корень из b₁²+b₂²+…+b_n²

43. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл углового коэффициента.

Общее уравнение прямой на плоскости ax+by+c=0 Из него можно получить уравнение прямой с угловым коффициэнтом y=kx+b k – есть тангенс наклона прямой к плоскости. Если k>0 то угол от 0 до 90, если k<0 то угол от 90 до 180.

44. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы 2 точки: А(х_а; у_а) и B(x_В; y_В) тогда уравнение прямой проходящей через 2 точки будет: (/ - разделить) х-х_A/х_B-х_А=у-у_A/y_B-y_A

45. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть а и b - длины отрезков, которые отсекает данная прямая на осях координат, тогда уравнение прямой в отрезках будет: х/а + х/b = 1

46. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Две прямые у=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ парралельны тогда и только тогда, когда k₁=k₂ и перпендикулярны тогда и только тогда, когда k₁*k₂=-1 Угол между прямыми вычисляется по формуле tgα=|k₂-k₁| разделить на |1+ k₁*k₂|

47. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки М₀(а₀;b₀) до прямой ax+by+c=0 вычисляется по формуле: d=(а₀х+b₀y+c)/корень из а²+b²

48. Окружность. Уравнение окружности

Окружность называется ГМТ (геометрическое месторасположение точек) равноудаленных от центра окружности. Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R x²+y²=R² если дано (a;b) то (x-a²)+(y-b²)=R²

49. Понятие эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Фокусы, расстояние между фокусами. Эксцентриситет эллипса. Расстояние от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы)

Эллипсом называется ГМТ сумма которых в двух некоторых точках называемых фокусами постоянна. Каноническое уравнение эллипса: x²/a²+y²/b²=1 Эксцентриситет это отношение фокального расстояния к большей оси. Е=2с/2а=с/а для эллипса Е<1 Расстояния r₁ и r₂ от каждого из фокусов до данной точки, называется фокальными радиусами в этой точке. Фокусами называются две такие сумма от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина. Расстояние между фокусами равно 2С с=|F₁F₂| разделить на 2