- •1.Понятие арифметического вектора. Координаты вектора. Операции над векторами и их свойства.
- •2. Линейные векторные пространства.
- •3. Скалярное произведение и его свойства. Евклидовы векторные пространства.
- •4. Системы векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •5. Критерий линейной зависимости векторов. Следствия.
- •6. Теорема о линейной независимости диагональной системы.
- •7. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
- •8. Базис линейного векторного пространства. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по базису.
- •9. Матрицы. Виды матриц.
- •10. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами
- •11. Определители. Свойства определителей.
- •12. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •13. Теорема Лапласа.
- •15. Понятие элементарного преобразования. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •17. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.
- •18. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Методы вычисления обратной матрицы.
- •19. Системы линейных уравнений. Различные формы записи слу. Решение слу. Совместность и несовместность системы. Определенность и неопределенность слу. Эквивалентные системы линейных уравнений.
- •20. Исследование систем линейных уравнений. Критерий совместности слу. Критерий определенности слу. Критерий неопределенности слу.
- •21. Решение слу в общем случае. Базисные и свободные неизвестные. Общее решение слу.
- •22. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом Крамера. Понятия определителя системы и вспомогательного определителя.
- •23. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом обратной матрицы. Схема решения слу методом обратной матрицы.
- •24. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Прямой и обратный ходы метода Гаусса.
- •25. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом замещения. Суть метода замещения.
- •26. Однородные системы линейных уравнений. Критерий наличия ненулевого решения ослу Следствия теоремы.
- •27. Решение ослу. Свойства решений ослу. Фундаментальная система решений. Правило нахождения фср ослу.
- •28. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений через соответствующую ей систему однородных уравнений.
- •33. Сопряженные и самосопряженные операторы.
- •40. Понятие вектора. Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
- •50. Понятие гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Расстояние от точки гиперболы до фокусов. Уравнение асимптот гиперболы.
- •51. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат. Фокальный радиус
11. Определители. Свойства определителей.
Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу. /\ij= |A| (здесь и далее /\ - определитель (треугольничек)) Любое расположение чисел 1,2,…,n в некотором порядке определенном порядке называется факториалом. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице А n-го порядка называется алгебраическая сумма n! Членов вида а1/1*а2/2*…*аn/n , каждый из которых является произведением n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, при этом члену приписывается знак плюс или минус, в зависимости от того, четную или нечетную перестановку образуют индексы столбцов элементов члена, при условии, что первые индексы расположены в порядке следования строк. /\n=|A|=det.A=E(загнутая)(-1)tat/t*а2/2*an/n где t – число инверсий 1) Определитель квадратной матрицы первого порядка А=(а11), состоящей из одного числа равен этому числу. 2) Определителем квадратной матрицы второго порядка А=(аij) является число, равное разности произведений его элементов главной и вспомогательной диагонали. 3) Определителем квадратной матрицы третьего порядка А=(аij) называется число, вычесленное по следующей формуле: /\3=|A|=(a11a22a33+a12a23a31+a21a32a13)-(a31a22a13+a12a21a33+a32a23a11) (правило треугольника (Саррюса)) Свойства определителей. 1) Свойство равноправия строк и столбцов: Величина определителя при транспонировании не меняется, т.е. |At|=|A| 2) Знакопеременность определителя: Если две строки поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный. 3) Однородность определителя. 4) Если определитель содержит столбец или строку из нулей, то он равен нулю. 5) Если в определителе есть 2 одинаковые строчки или столбца, то он равен нулю. 6) Если элементы какой либо строки или столбца пропорциональны элементам другой строки или столбца, то определитель равен нулю. 7) Если все элементы какой либо строки определителя представляют собой сумму слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, все элементы которых, кроме i-той (этой) строки, совпадают с элементами данного определителя, а элементы i-той строки первого определителя являются первые слагаемые, элементами i-той строки второго определителя являются вторые слагаемые элементов i-той строки. 8) Если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю. 9) Если к элементам некоторой строки определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то величина определителя не изменится. 10) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: |C|=|A*B| 11) Определитель треугольной матрицы, и в частности диагональной, равен произведению их диагональных элементов.
12. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
Минором Mij элемента аij матрицы n-ого порядка называется определитель матрицы (n-1)-ого порядка, полученный из матрицы А «вычеркиванием» I-той строчки и j-того столбца, на пересечении которых находится элемент aij Алгебраическим дополнением Aij элемента аij матрицы n-ого порядка называется соответствующий ему минор, взятый со знаком +, если сумма (i+j) номеров столбца и строки –четное число, или со знаком -, если сумма (i+j) – нечетное число.