- •1.Понятие арифметического вектора. Координаты вектора. Операции над векторами и их свойства.
- •2. Линейные векторные пространства.
- •3. Скалярное произведение и его свойства. Евклидовы векторные пространства.
- •4. Системы векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •5. Критерий линейной зависимости векторов. Следствия.
- •6. Теорема о линейной независимости диагональной системы.
- •7. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
- •8. Базис линейного векторного пространства. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по базису.
- •9. Матрицы. Виды матриц.
- •10. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами
- •11. Определители. Свойства определителей.
- •12. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •13. Теорема Лапласа.
- •15. Понятие элементарного преобразования. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •17. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.
- •18. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Методы вычисления обратной матрицы.
- •19. Системы линейных уравнений. Различные формы записи слу. Решение слу. Совместность и несовместность системы. Определенность и неопределенность слу. Эквивалентные системы линейных уравнений.
- •20. Исследование систем линейных уравнений. Критерий совместности слу. Критерий определенности слу. Критерий неопределенности слу.
- •21. Решение слу в общем случае. Базисные и свободные неизвестные. Общее решение слу.
- •22. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом Крамера. Понятия определителя системы и вспомогательного определителя.
- •23. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом обратной матрицы. Схема решения слу методом обратной матрицы.
- •24. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Прямой и обратный ходы метода Гаусса.
- •25. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом замещения. Суть метода замещения.
- •26. Однородные системы линейных уравнений. Критерий наличия ненулевого решения ослу Следствия теоремы.
- •27. Решение ослу. Свойства решений ослу. Фундаментальная система решений. Правило нахождения фср ослу.
- •28. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений через соответствующую ей систему однородных уравнений.
- •33. Сопряженные и самосопряженные операторы.
- •40. Понятие вектора. Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
- •50. Понятие гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Расстояние от точки гиперболы до фокусов. Уравнение асимптот гиперболы.
- •51. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат. Фокальный радиус
6. Теорема о линейной независимости диагональной системы.
Теорема: система n N-мерных единичных векторов линейно независима. е1 (1…0…0) } n штук е2 (0…1…0) } n штук - - - - - - - - - - - - - - - - - - ln (0…0…1) Рассмотрим линейную комбинацию составленную из векторов данной системы: А1е1+А2е2+Аnеn= А1(1;0…0)+А2(0;1…0)+…+Аn(0…1)=(А1;0…0)+(0;А2;…0)+…+(0;…0;Аn)=(А1;А2;…Аn)=о Из последнего равенства следует по определению ноль вектора, что А1 А2 …Аn равны нулю, следовательно, по определению линейно независимой системы е1;е2;…еn линейно независимы.
7. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
Базисом системы векторов а1…а2…ак называется его максимальная линейно-независимая подсистема. Любой вектор системы векторов линейно выражается единственным образом через вектор базиса данной системы векторов.
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
8. Базис линейного векторного пространства. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по базису.
Базисом линейного векторного пространства является максимальная линейно независимая система векторов данного пространства. Размерность пространства определяется кол-вом векторов базиса. Базис называется ортогональным, если все векторы базиса взаимно ортогональны (перпендикулярны). То есть, скалярное произведение различных любых двух векторов базиса равны нулю. Кол-во координат вектора определяет кол-во векторов его базиса. В каждом пространстве существует, по крайней мере, 1 базис состоящий из n n-мерных единичных векторов. Такой базис называется ортонормированным. Базисом системы векторов а1…а2…ак называется его максимальная линейно-независимая подсистема. Любой вектор системы векторов линейно выражается единственным образом через вектор базиса данной системы векторов. Базис называется нормированным, если длины векторов этого базиса равны единице. Базис называется ортонормированным, если он является ортогональным и нормированным.
9. Матрицы. Виды матриц.
Матрицей Аm*n называется прямоугольная таблица содержащая m строк и n столбцов. Квадратной матрицей Аn называется матрица, содержащая n-строк и n-столбцов Для квадратных матриц существует понятие главной и побочной диагонали. Переменными главной диагонали называются элементы аij где i=j Квадратная матрица называется диагональной матрицей если диагональные элементы этой матрицы отличны от нуля, а все остальные равны нулю. Квадратная матрица называется треугольной, если элементы, расположенные над главной диагональю или под ней равны нулю. Квадратная матрица En называется n-мерной единичной матрицей, если ее диагональные элементы равны единице, а все остальные нули.Матрица вида А1*n (а11;а12;…А1n) называется матрицей строкой. Атn*m называется транспонированной для матрицы Аm*n если ее строки являются столбцами второй и наоборот. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если порядок матрицы совпадает с рангом матрицы.
10. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами
Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц слагаемых. C=A+B Произведение матрицы на скаляр называется матрицей той же размерности элементы которой равны произведению соответствующих элементов исходной матрицы на этот скаляр (число) Произведение матрицы Amn на матрицу Bnp называется матрица Cnp каждый элемент которой Сij является скалярным произведением i-той строчки на j-тый столбец матрицы. Любую матрицу Аmn можно умножить на единичную матрицу Еn Аmn* Еn= Аmn Транспонирование. Атn*m называется транспонированной для матрицы Аm*n если ее строки являются столбцами второй и наоборот.
Возведение в квадрат: А2n=. Аn* Аn Возведение в куб: А3=: А2n*А=А*А*А