- •1.Понятие арифметического вектора. Координаты вектора. Операции над векторами и их свойства.
- •2. Линейные векторные пространства.
- •3. Скалярное произведение и его свойства. Евклидовы векторные пространства.
- •4. Системы векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.
- •5. Критерий линейной зависимости векторов. Следствия.
- •6. Теорема о линейной независимости диагональной системы.
- •7. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.
- •8. Базис линейного векторного пространства. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по базису.
- •9. Матрицы. Виды матриц.
- •10. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами
- •11. Определители. Свойства определителей.
- •12. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.
- •13. Теорема Лапласа.
- •15. Понятие элементарного преобразования. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •17. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.
- •18. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Методы вычисления обратной матрицы.
- •19. Системы линейных уравнений. Различные формы записи слу. Решение слу. Совместность и несовместность системы. Определенность и неопределенность слу. Эквивалентные системы линейных уравнений.
- •20. Исследование систем линейных уравнений. Критерий совместности слу. Критерий определенности слу. Критерий неопределенности слу.
- •21. Решение слу в общем случае. Базисные и свободные неизвестные. Общее решение слу.
- •22. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом Крамера. Понятия определителя системы и вспомогательного определителя.
- •23. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом обратной матрицы. Схема решения слу методом обратной матрицы.
- •24. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных). Прямой и обратный ходы метода Гаусса.
- •25. Решение систем m линейных уравнений c n неизвестными методом замещения. Суть метода замещения.
- •26. Однородные системы линейных уравнений. Критерий наличия ненулевого решения ослу Следствия теоремы.
- •27. Решение ослу. Свойства решений ослу. Фундаментальная система решений. Правило нахождения фср ослу.
- •28. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений через соответствующую ей систему однородных уравнений.
- •33. Сопряженные и самосопряженные операторы.
- •40. Понятие вектора. Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
- •50. Понятие гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Эксцентриситет гиперболы. Расстояние от точки гиперболы до фокусов. Уравнение асимптот гиперболы.
- •51. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат. Фокальный радиус
13. Теорема Лапласа.
Определитель квадратной матрицы n-ого порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение. /\=ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAim= Σ (сверху на е – «n», снизу «S=1») aisAis (разложение по i-ой строке) /\=a1jA1j+a2jA2j+…anjAnj= Σ (сверху на е – «n», снизу «S=1») asjAsj (разложение по j-ому столбцу)
14. Ранг матрицы. Основная теорема о ранге матрицы. Свойства ранга матрицы. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается r(A) Теорема: Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров данной матрицы. Рангом матрицы называется максимальное число её линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные. Теорема о ранге матрицы: Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка/столбец является линейной комбинацией этих строк/столбцов. Свойства ранга матрицы: 1. Ранг матрицы r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, то есть A=0 2. Для квадратной матрицы n-ого порядка r(A)=n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная. 3. При транспонировании матрицы её ранг не меняется. Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения: 1. r(A+B)<r(A)+r(B) 2. r(A+B)>|r(A)-r(B)| 3. r(AB)<min{r(A);r(B)}
15. Понятие элементарного преобразования. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
Преобразования, сохраняющие ранг матрицы называются элементарными. 1) Отбрасывание нулевой строки/столбца. 2) Умножение строки или столбца на число отличное от нуля. 3) Изменение порядка строк или столбцов. 4) Прибавление к элементам какой либо строки/столбца соответствующих элементов другой строки/столбца умноженных на ненулевое число. 5) Транспонирование матрицы. 16. Метод окаймляющих миноров.
Методы нахождение ранга матрицы. 1) Метод окаймляющих миноров. а) Найти какой либо минор 1-ого порядка отличный от нуля. М1 не равен 0 б) Вычислить М1 (окаймляющие М1). Проводится до тех пор, пока не найдется минор 2-ого порядка отличный от нуля. М2 не равен 0. Если такого минора нет, то ранг матрицы равен 1. r(A)=1 если есть, то данный минор назовем базисным и r(A)>2 в) Окаймляем минор второго порядка и повторяем процедуру вплоть до минора К-ого порядка Мк=1 не равен 0. Ранг матрицы будет равен к если все миноры к+1 порядка будут равны нулю.
17. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.
Определение: Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А если справедливо равенство А*А1=А-1*А=Е (Е – единичная матрица n-ого порядка) Теорема: всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу и при том единственную, которую можно вычислить по формуле А-1=1:|A|*ATij , где ATij – матрица транспонированная к матрице составленной из алгебраических дополнений. Теорема: Критерий существования обратной матрицы. Квадратная матрица А имеет и при том единственную обратную матрицу А-1 тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.