18. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Методы вычисления обратной матрицы.

19. Системы линейных уравнений. Различные формы записи слу. Решение слу. Совместность и несовместность системы. Определенность и неопределенность слу. Эквивалентные системы линейных уравнений.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется совокупность уравнений вида: где, – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами.

Систему уравнений можно представить и в более краткой записи:

Любую СЛУ можно представить в матричном виде: АХ=В – матрица из коэффициентов при неизвестных, называемая основной матрицей системы,

столбец неизвестных, столбец свободных членов

Определение. Решением системы называется упорядоченная совокупность n чисел (k₁,k₂…k_n), при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Определение. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, и несовместной (противоречивой), если эта система не имеет решений.

Определение. Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Определение. Две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

20. Исследование систем линейных уравнений. Критерий совместности слу. Критерий определенности слу. Критерий неопределенности слу.

Исследовать систему линейных уравнений означает выяснить, совместна она или несовместна, а в случае совместности выяснить, определена она или неопределенна. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ). Для того, чтобы система m линейных уравнений относительно n неизвестных была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы A и ранг расширенной матрицы (A|B) , т.е. r(A)=r(A|B) Теорема (Критерий определенности СЛУ). Совместная СЛУ определена тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен числу неизвестных: r=n

Теорема (Критерий неопределенности СЛУ). Совместная СЛУ неопределенна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных: r<n

21. Решение слу в общем случае. Базисные и свободные неизвестные. Общее решение слу.

Определение. Базисными (основными) неизвестными СЛУ называются те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы этой системы.

Определение. Свободными (неосновными) неизвестными СЛУ называются те переменные, коэффициенты при которых не входят в базисный минор матрицы этой системы. Общим решением системы линейных уравнений называется множество всех ее решений, записанных в виде:

22. Решение систем n линейных уравнений c n неизвестными методом Крамера. Понятия определителя системы и вспомогательного определителя.

Определение. Определителем ∆ системы n линейных уравнений c n неизвестными называется определитель, порожденный матрицей этой системы Вспомогательным (дополнительным) определителем системы называется определитель ∆_i, получающийся из определителя ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов этой системы Теорема Крамера. Если определитель D системы n линейных уравнений c n неизвестными отличен от нуля, то система совместна и определена, а ее единственное решение определяется по формулам: