- •Введение
- •1. Общие положения
- •Цели и задачи расчетно-графической работы
- •Структура расчетно-графической работы
- •Выбор варианта расчетно-графической работы
- •Состав и объем расчетно-графической работы
- •Содержание пояснительной записки
- •Введение
- •Обработка полностью определенных выборок при группированных исходных данных
- •Упорядочение и группирование эмпирических данных
- •Определение частоты попадания случайной величины в интервалы группирования
- •Построение графика-гистограммы и полигона распределения
- •Последовательность вычислений при проверке принадлежности данных нормальному закону распределения
- •3.2.3. Принятие гипотезы о виде закона распределения и определение оценки параметров закона распределения
- •Определение теоретических характеристик распределения
- •Вычисление теоретической плотности распределения и теоретической функции распределения
- •3.2.5. Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим распределениями по критерию согласия Колмогорова
- •Вычисление отклонений функций
- •3.2.6. Проверка гипотезы о виде закона распределения коэффициентами асимметрии и экспресса
- •Последовательность вычисления коэффициента асимметрии и эксцесса
- •3.2.7. Проверка согласия между эмпирическим и теоретическим распределениями по критерии согласия χ2 Пирсона
- •Последовательность вычисления критерия согласия
- •3.2.8. Определение доверительных границ параметров закона распределения
- •3.2.9. Определение оценок показателей надежности и построение характеристик надежности
- •Расчет характеристики надежности
- •Прогнозирование потребности запасных агрегатов и деталей технологических систем
- •3.3.1. Расчет функций композиций очередных замен, ведущей функции и параметра потока отказов
- •Расчет функции композиций очередных замен, ведущей функции и параметра потока отказов
- •3.3.2. Расчет потребности замены деталей технологических систем
- •3.4. Выводы
- •Библиографический список
- •Приложение
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Предельные значения нормированных отклонений опытного распределения от значений теоретического распределения для заданных доверительных вероятностей
- •Значения коэффициентов для односторонней доверительной вероятности
- •Оглавление
- •1. Общие положения…...………………………………………………….3
- •1.1. Цели и задачи расчетно-графической работы……………………....3
Последовательность вычисления критерия согласия
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
3.2.8. Определение доверительных границ параметров закона распределения
Полученные значения количественных характеристик показателей надежности в дальнейшем должны быть распространены на другие технологические системы, работающие в условиях, отличных от исследуемых. При этом изменение количества технологических систем в группе и условий их эксплуатации вызовет и изменение количественных показателей надежности. Несмотря на то, что эти изменения носят случайный характер, они происходят в определенных границах или в определенном интервале. Величина этого интервала зависит от многих факторов, в том числе и от количества технологических систем в группе. Определение границ рассеивания характеристик показателей надежности, а следовательно, и определение возможной ошибки их переноса из одних условий в другие является одной из основных задач теории надежности.
Поэтому после того, как вид закона установлен, определяют границы доверительного интервала количественных показателей надежности, и в первую очередь, доверительного интервала значений математического ожидания. Для нормального закона распределения в общих случаях в качестве доверительного интервала принимают интервал, отличающийся от среднего значения показателя на величину . Площадь между дифференциальной кривой и осью абсцисс, ограниченная величиной , составляет 0,997 или 99,7% всей площади, т.е. в 997 случаях из 1000 значение одиночного показателя (точечной оценки) надежности будет находиться в интервале .
Задаваясь заранее меньшими значениями площади охвата, соответственно сближают границы рассеивания точечной оценки показателя надежности и тем самым уменьшают возможную погрешность расчета, хотя и за счет снижения доверия. При обработке эмпирических данных о надежности технологических систем и их элементов нередко требуется определить не только точечную оценку, но и ее точность и достоверность, т.е. необходимо найти к каким случайным ошибкам может приводить, например, замена параметра его оценкой. Экспериментальная оценка является случайной величиной, поэтому можно указать определенную вероятность γ того, что истинное значение параметра α заключено в пределах заданной точности оценки, т.е.:
, (31)
где - заданная точность; - достоверность оценки (доверительная вероятность).
Характеристики оценивания являются более полными, если оценивать параметр не по одной, а по двум оценкам нижней и верхней .
Для заданной вероятности , по конечной совокупности наблюдений t1, t2,…,tN случайной величины может быть получена такая оценка (рис. 2), что интервал от до накрывает, параметр с этой вероятностью :
. (32)
Величина называется нижней доверительной границей параметра , а величина - односторонний доверительной вероятностью.
Рис. 2. Доверительные границы
При таких же условиях для заданной вероятности может быть получена такая оценка (см. рис. 2), что интервал от 0 до накрывает параметр с этой вероятностью .
, (33)
Величина называется верхней доверительной границей, а величина - односторонней доверительной вероятностью.
Нижняя и верхняя доверительные границы образуют доверительный интервал, который с двусторонней доверительной вероятностью накрывает параметр :
, (34)
Двусторонняя доверительная вероятность определяется при условии, что , и больше 0,5:
, (35)
Если , равенство (35) принимает вид:
, (36)
и тогда односторонняя доверительность вероятность:
, (37)
Величина характеризует достоверность оценки, а величина (доверительный интервал) (cм. рис. 2) – точность оценки.
При нормальном законе распределения нижняя и верхняя односторонние доверительные границы параметра при заданной доверительной вероятности :
, (38)
, (39)
где - квантиль распределения Стьюдента для односторонней доверительной вероятности (выбирается по табл. 6 приложения в зависимости от принятого уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы К = N - 1).
Для среднего квадратического отклонения σ односторонние доверительные границы вычисляются по формулам:
, (40)
, (41)
где и коэффициенты, рассчитываемые в зависимости от односторонней доверительной вероятности и числа степеней свободы К = N – 1 по уравнениям
, (42)
, (43)
где - выбирается по табл. 6 приложения при К<100; и рекомендуется выбирать по таблицам ГОСТ 11.004-74.