21.Системы массового обслуживания,основные понятия,граф состояния.

Системы МО являются частью более широкого класса динамических систем, которые иногда называют системами потоков. Системой потоков называется система, в которой некоторые предметы перемещаются по одному или нескольким каналам с ограниченной пропускной способностью с целью перемещения из одной точки в другую. При анализе систем потоков их разбивают на два основных класса: Ø регулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя предсказуемым образом (известны величина потока и время его появления в канале). В случае, когда канал один, расчет системы тривиален. Очевидно, что между интенсивностью потока R и скоростью обслуживания с есть соотношение R < c; Ø нерегулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя непредсказуемым образом. Более интересным является случай регулярного потока, который распределяется по сети каналов. Очевидно, что условие R < c сохраняется для каждого канала. При этом возникает сложная комбинаторная задача.

Рис. 7.20

Имеется семь дорог. Необходимо перевезти груз из А в Д. Пропускная способность каждого канала известна. Какова пропускная способность сети и каким путем должен следовать поток? Решить эту задачу можно с помощью теоремы о максимальном потоке, которую мы рассматривали ранее (рис. 7.20). Ко второму классу относятся случайные вероятные потоки, в которых время поступления требования не определено, число требований непредсказуемо. Решением таких задач и занимается теория массового обслуживания. В общем случае система массового обслуживания может быть представлена на рис. 7.21.

Рис. 7.21

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, производительностью, правильностью работы и эффективностью. В качестве характеристик эффективности могут применяться следующие величины и функции:

• среднее количество заявок, которые может обслужить СМО в единицу времени;

• среднее количество заявок, получающих отказ и покидающих СМО;

• вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет обслужена;

• среднее время ожидания в очереди;

• среднее количество заявок в очереди;

• средний доход СМО в единицу времени и другие экономические показатели СМО.

Анализ СМО упрощается, если в системе протекает марковский процесс, тогда систему можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а предельные вероятности – линейными алгебраическими уравнениями. Марковский процесс требует, чтобы все потоки были пуассоновскими (без последействий), но аппарат марковских процессов используется и тогда, когда процесс отличен от марковского. В этом случае характеристики СМО могут быть оценены приблизительно: чем сложнее СМО, тем точнее приближение.

Определение: Граф состояний – графическая схема случайного процесса с дискретными состояниями;

Пример: Устройство S состоит из двух узлов.

Состояния:

S₀ – оба узла исправны:

S₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен;

S₂ - второй узел ремонтируется, первый исправен;

S₃ - оба узла ремонтируются;