- •2.Различные классификации математических моделей.
- •5.1 Понятие компьютерного моделирования. Предмет, цели и назначение компьютерного моделирования.
- •6. Этапы компьютерного моделирования . Примеры.
- •3.Основные свойства моделей. Операции над моделями
- •4)Понятие моделирование,его цели,предмет,виды.
- •10. Дифференциальные модели. Методы. Задачи. Модель математического маятника.
- •11. Экологическая модель «хищник-жертва».
- •12. Модель «конкурирующие виды»
- •13. Экологическая модель взаимодействия логистических популяций.
- •14. Вероятностно-статистические модели. Методы, задачи.
- •16. Метод Монте–Карло. Основные задачи.
- •17. Разыгрывание дискретной случайной величины
- •21.Системы массового обслуживания,основные понятия,граф состояния.
- •22.Уравнение Колмогорова
- •23.Предельные вероятности состояний
- •24. Одноканальная смо с отказами
- •25.Многоканальная смо с отказами
- •26.Одноканальная смо с ожиданием и неограниченной очередью
- •18.Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- •6.1.Метод обратных функций.
- •6.2.Метод суперпозиции.
- •20.Цепи Маркова.
22.Уравнение Колмогорова
23.Предельные вероятности состояний
Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени. Особый интерес представляют вероятности состояний системы pi при t →∞, т.е. в предельном стационарном режиме. В этом случае получают предельные (или финальные) вероятности состояний. В теории случайных марковских процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют. Существование предельных вероятностей означает, что с течением времени в системе наступает стационарный режим: она случайным образом меняет свои состояния, но вероятность pi каждого из них уже не зависит от времени.
Предельная вероятность состояния pi имеет чёткий смысл – это среднее относительное время пребывания системы в состоянии Si (сколько процентов времени система проводит в состоянии Si.). Например, если предельная вероятность состояния S0 , т.е. p0= 0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S0.
Так как предельные вероятности pi постоянные, т.е. не зависят от времени, то , и в левой части уравнений Колмогорова получаем 0. Для решения этой системы удобно отрицательные слагаемые перенести из правой части исходной системы в левую часть. Для системы S с графом состояния § 2.4.1 (рис. 5), получим
стационарные уравнения Колмогорова
(2.1.9)
Систему (2.1.9) можно составлять непосредственно по размеченному графу состояний, если руководствоваться следующим правилом.
При составления i-го уравнения системы уравнений Колмогорова для предельных вероятностей нужно рассмотреть состояние Si на размеченном графе состояний. В левой части уравнения записывается сумма интенсивностей всех выходящих из Si стрелок (потоков), умноженная на предельную вероятность pi. Каждой входящей в Si из Sj стрелке (на ней указана интенсивность λji) в правой части уравнения соответствует слагаемое λji pi. В полученной системе уравнений одно уравнение будет выражаться через другие, т.к. они линейно зависимы. Поэтому какое-то одно уравнение этой системы нужно заменить уравнением
24. Одноканальная смо с отказами
Простейшей одноканальной моделью свероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени). Плотность распределения длительностей обслуживания: , где – интенсивность обслуживания, tоб – среднее время обслуживания одного клиента. Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: . Эта величина равна вероятности Р0 того, что канал обслуживания свободен. Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени: . Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»: . Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных. Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — tоб=1,8 часа. Требуется определить в установившемся режиме предельные значения: относительной пропускной способности q; абсолютной пропускной способностиА; вероятности отказа Ротк; Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва. Решение Определим интенсивность потока обслуживания: . Вычислим относительную пропускную способность: q = . Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей. Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356. Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час. Вероятность отказа: Ротк=1-q=1-0,356=0,644. Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании. Определим номинальную пропускную способность системы: Аном= (автомобилей в час). Оказывается, что Аномв раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.