16. Метод Монте–Карло. Основные задачи.

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949г., когда американские ученые Н..Метрополис и С.Улам опубликовали статью «Метод Монте-Карло», в которой систематически его изложили. Название метода связано с названием города Монте-Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку- одно из простейших устройств для получения случайных чисел, на использование которых основан этот метод.

ЭВМ позволяют легко получать так называемые псевдослучайные числа (при решении задач их применяют вместо случайных чисел); это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). метод Монте-Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических т.д.).

2Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значения а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают х в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а:

поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти ее возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины»

17. Разыгрывание дискретной случайной величины

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т.е. получить последовательность ее возможных значений хi(i=1,2,3…,n), зная закон распределения Х:

Х x1 x2 … xn

p p1 p2 … pn

Обозначим через R непрерывную случайную величину, распределённую равномерно в интервале (0,1), а через rj (j=1,2,3,…,n)- ее возможные значения, т.е. случайные числа.

Разобьём интервал 0≤R<1 на оси Оr точками с координатами p1,p1+p2, p1+p2+p3,…,p1+p2+p3+…+pn-1 на n частичных интервалов Δ1,Δ2,Δ3,…,Δn

Дл. Δ1= p1-0= p1

Дл. Δ2= p1+p2- p1= p2

……………………

Дл. Δn=1-( p1+p2+p3+…+pn-1)= pn

Видим, что длина частичного интервала с индексом i равна вероятности с тем же индексом:

Дл. Δi=pi (*)

Теорема. Если каждому случайному числу rj (0≤ rj<1), которое попало в интервал Δi, ставить в соответствии возможное значение хi, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения:

Х x1 x2 … xn

p p1 p2 … pn

Доказательство. Так как при попадании случайного числа rj в частичный интервал Δi разыгрываемая величина принимает возможное значение хi, а таких интервалов всего n, то разыгрываемая величина имеет те же возможные значения, что и Х, а именно х1,х2,х3,…,хn.

Вероятность попадания случайной величины R в интервал Δi равно его длине, а всилу (*) Дл. Δi=pi. Т.о., вероятность попадания R в интервал Δi равно pi. Следовательно, вероятность того, что разыгрываемая величина примет возможное значение хi, также равна pi (поскольку мы условились в случае попадания случайного числа rj в частичный интервал Δi считать, что разыгрываемая величина приняла возможное значение хi).

Итак, разыгрываемая величина имеет заданный закон распределения.

Правило. Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину, заданную законом распределения.

Х х1 х2 … хn

p p1 p2 … pn

Надо:1) разбить интервал (0,1) на оси Оr на n частичных интервалов: Δ1-(0 ;p1), Δ2-( p1;p1+p2),…, Δn –(p1+p2+p3+…+pn-1;1)

2) выбрать случайное число rj

Если rj попало в частичный интервал Δi , то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значение хi