- •2.Различные классификации математических моделей.
- •5.1 Понятие компьютерного моделирования. Предмет, цели и назначение компьютерного моделирования.
- •6. Этапы компьютерного моделирования . Примеры.
- •3.Основные свойства моделей. Операции над моделями
- •4)Понятие моделирование,его цели,предмет,виды.
- •10. Дифференциальные модели. Методы. Задачи. Модель математического маятника.
- •11. Экологическая модель «хищник-жертва».
- •12. Модель «конкурирующие виды»
- •13. Экологическая модель взаимодействия логистических популяций.
- •14. Вероятностно-статистические модели. Методы, задачи.
- •16. Метод Монте–Карло. Основные задачи.
- •17. Разыгрывание дискретной случайной величины
- •21.Системы массового обслуживания,основные понятия,граф состояния.
- •22.Уравнение Колмогорова
- •23.Предельные вероятности состояний
- •24. Одноканальная смо с отказами
- •25.Многоканальная смо с отказами
- •26.Одноканальная смо с ожиданием и неограниченной очередью
- •18.Разыгрывание непрерывной случайной величины.
- •6.1.Метод обратных функций.
- •6.2.Метод суперпозиции.
- •20.Цепи Маркова.
10. Дифференциальные модели. Методы. Задачи. Модель математического маятника.
Динамика простого гармонического движения
Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
Где m — это масса тела, x — его перемещение относительно положения равновесия, k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины).
Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково: x(t) = Acos(ωt + φ), где A, ω, и φ — это постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное. Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения:
A — это амплитуда, ω = 2πf — это круговая частота, и φ — начальная фаза.
Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам: Ускорение может быть также выражено как функция перемещения: Поскольку ma = −mω²x = −kx, то Учитывая, что ω = 2πf, получим и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.
Модель математического маятника.Математиический маятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен и не зависит от амплитуды и массы маятника.Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.
При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.
Уравнение колебаний маятника
Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) - это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид: .
Решения уравнения движения.
Гармонические колебания
Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы: где A — амплитуда колебаний маятника, θ0 — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.
Нелинейный маятник
Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен: где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.
Параметр определяется выражением где — энергия маятника в единицах t-2Период колебаний нелинейного маятника
где K — эллиптический интеграл первого рода.