13. Экологическая модель взаимодействия логистических популяций.

Если коэффициенты , , , - положительные, но , равны нулю, то уравнение

(9)

описывает две различные популяции с численностями х(t) и у(t), которые никак не влияют друг на друга.

Если оба коэффициента и положительны, то взаимодействие между этими популяциями классифицируется как конкуренция, потому что влияние слагаемых, содержащих ху в системе (9) направлена на уменьшение скорости прироста обоих популяций.

Предположим, что и , тогда увеличится скорость прироста обоих популяций. Взаимодействие классифицируется как сотрудничество 2х популяций.

Если и разных знаков, то взаимодействие этих популяций относится к хищничеству.

Если и <0, то при взаимодействии популяций, численность, которая обозначена ч/з х, страдает, а популяция, ч/з которую обозначили у, выигрывает, поэтому можно рассматривать:

х(t) – численность популяции жертвы, а у(t) – численность популяциихищников.

Методы решения диф.-х уравнений.

Точные, приближенные и численные. Приближенные используют различные методы самих уравнений, специальные классы искомых функций, разложение в ряд по малому параметру, также асимптотические методы.

Широко используются численные методы, в основе которых лежит замена переменного его дискретным аналогом, заменяющегося разностью уравнений. Один из методов решения ур.-ий – метод Эйлера, задача Коши (с нач. условием)

, - начальное условие.

При решении с пом. Эйлера вычисляется увеличение шага h и повторного применения функции

n>=0

Формула применяется для последовательного приближения к точным значениям у(х), соответственно в точках

Более усовершенствованный метод в реш ДУ наз-ся метод Ронге-Кутта (строится таблица, сетка со значениями).

14. Вероятностно-статистические модели. Методы, задачи.

Вероятностная модель – это математическая модель, имитирующая механизм функционирования гипотетического реального явления или системы стохастической природы.

Вероятностно-статистическая модель – вероятностная модель, значение отдельных характеристик которой оценивается по результатам наблюдений (исходные статистические данные), характеризующие функционирование моделированного конкретного негипотетического явления или системы.

Вероятностные модели описывают явления и процессы случайного характера. К примеру всевозможные статистические отклонения и ошибки (производственный брак), влияние стихийных явлений природы, возможные неисправности оборудования.

К ним относится теория марковских случайных процессов, разработанная для описания операций, когда развивается случайным образом во времени передача информации по каналам связи. Теория массового обслуживания повторяет повторяющиеся массовые явления (выход из строя, ремонт оборудования).

Статистические модели: 1) модели последовательного анализа; 2) метод статистических испытаний (м-д Монте-Карло); 3) методы случайного поиска.

Модели законов распределения вероятности наиболее распространенные в практике статистических исследований.

1) модельный или аналитический способ задания закона распределения вероятности является наиболее удобной формой его описания. При этом способ вычисления вер-ти того, что исследуемая ДСВ Х примет заданное значение х определяется явным аналитическим заданием, подходящей функции. Способ называют – параметрическая форма задания закона распределения вер-ти.

Закон распр-ия Бернулли, биномиальный з-н распр-ия, з-н распр-ия Пуассона, геометрический з-н распр-ия, гипергеометр-ий з-н распр-ия.

З-ны распр-ия НСВ: равномерное распр-ие, экспоненциальное (показ-ое) распр-ие, нормальный з-н (з-н Гаусса).

2) 2 направления использования моделей ЗРВ в теории и практике вероятностно-статистических исследований: 1. Связанное с реалистичным моделированием поведения конкретных анализируемых признаков. Пример: средне-душевой доход, параметры демографической ситуации и т.д. В этом случае модель ЗРВ призвана описать и объяснить механизм генерирующих анализируемых исходных данных.

2. Использования модели ЗРВ в качестве вспомогательного технического средства при реализации различных методов статист-го анализа данных.

3. К наиболее распростр-м на практике вер.- стат. исследований моделям ЗРВ, которые описывают поведение ДСВ, относятся: биномиальный, гипергеометр., пуассоновский, полиномиальный з-ны. 4. При описании НСВ в области социально-экономич-х исслед-й наиболее рапростр-ми яв-ся модели: нормального, экспоненциального, равномерного распред-ий. 5. При подборе модели под анализируемые реальные данные следует представить общую схему для механизма формирования той или иной модели СВ.

Особое место среди численных методов занимают вероятностные методы. Сущ-ют так называемые детерминированные, вычислительные алгоритмы, т.е. результат, соответствующий одному и тому же шагу алгоритма, при многократной реализации алгоритм будет совпадать.

Детерминированные процессы. Имеет место процессы заранее непредсказуемые или случайные алгоритмы, Способы решения задач, использующие СВ получают название методов Монте-Карло.