29) Назначение корреляционных матриц, правила построения

Многие объекты исследования характеризуются множеством параметров, и по результатам наблюдения за их функционированием формируются многомерные совокупности (матрицы)

Строки такой матрицы соответствуют результатам регистрации всех наблюдаемых параметров объекта в одном эксперименте, а столбцы содержат результаты наблюдений за одним параметром (фактором, вариантой) во всех экспериментах. Обозначим количество параметров через т (т>1), а количество наблюдений – через п.

В матрице элемент х_ij соответствует значению j-й варианты в i-м наблюдении. Матрица, вообще говоря, может содержать пустые значения некоторых элементов, например, из-за пропусков в регистрации значений параметров. В многомерном анализе желательно устранить пропущенные значения. Для этого существуют специальные приемы, в частности, вычеркивание соответствующих строк матрицы или занесение средних значений вместо отсутствующих. В дальнейшем будем считать, что матрица не содержит пустых элементов, а параметры объекта характеризуются непрерывными случайными величинами.

30. Определение степени статистической согласованности объектов. Корреляционные матрицы

Значения корреляции для пар величин можно записывать в соответствующие столбцы и строки матрицы (таблицы).

Например, для трёх x₁, x₂, x₃ величин корреляционная матрица будет иметь вид:

В данном случае r_ij – это коэффициент корреляции между i-ой и j-ой характеристиками и очевидно, что он равен  r_ji  (r_ij=r_ji), а также r_ii=1 для всех допустимых значений i. Поэтому для упрощения корреляционную матрицу принято представлять в треугольном виде:

Построим корреляционную матрицу ранговой попарной связи результатов трёх тестирований 10 студентов. Результаты ранжирования тестирования указанных студентов представлены в таблице:

Тест A(ранг)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Тест B(ранг)	2	1	3	4	9	8	10	5	7	6
Тест C(ранг)	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Для решения поставленной проблемы найдём коэффициент корреляции Спирмена для тестов A и B (r₁₂), A и C (r₁₃) и B и C (r₂₃).

После проведения расчётов получаем, что r₁₂= 0,64, r₂₃= –0,58, r₁₃= –1. Тогда корреляционная матрица будет иметь следующий вид:

Наглядно попарную связь измеряемых величин удобно представить с помощью корреляционного графа. В вершинах корреляционного графа указывается измеряемая величина, а над рёбрами, соединяющими вершины, проставляется соответствующее значение коэффициента корреляции. Таким образом, полученную в предыдущем примере корреляционную матрицу легко заменить корреляционным графом.

31. Применение корреляционных матриц в компонентном анализе

32. Сущность среднего квадратич. Отклонения на графике Гаусса

Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением или распределениемГаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, могущих вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1

Свойства

Если случайные величины X₁ и X₂ независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями μ₁ и μ₂ и дисперсиями   и   соответственно, то X₁ + X₂ также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием μ₁ + μ₂ и дисперсией  .