Логика высказываний.
Логика высказываний (или пропозициональная логика) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.
Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:
Если P — пропозициональная переменная, то — формула.
Если A — формула, то — формула.
Если A и B — формулы, то , и — формулы.
Других соглашений нет.
Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.
Булева алгебра и основные логические тождества.
Булевой
алгеброй
называется непустое множество
A
с двумя бинарными
операциями
(аналог
конъюнкции),
(аналог
дизъюнкции),
унарной
операцией
(аналог
отрицания)
и двумя выделенными элементами: 0 (или
Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех
a,
b
и c
из множества A
верны следующие аксиомы:
|
|
ассоциативность |
|
|
коммутативность |
|
|
законы поглощения |
|
|
дистрибутивность |
|
|
дополнительность |
Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дополнение 0 есть 1 и наоборот |
|
|
законы де Моргана |
|
|
инволютивность отрицания |
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Пропозициональные формулы и логические функции.
Аксиоматический метод исчисления высказываний.
способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Назначение А. м. состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе А. м. обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во многих науках. Но, несмотря на попытки систематического применения А. м. к изложению философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и др. наук, главной областью его приложения до сих пор остаются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).