- •Основные понятия и определения дисциплины.
- •История развития теории алгоритмов.
- •Роль алгоритмов в науке и технике.
- •Понятие алгоритма и алгоритмического процесса.
- •2. Формальное определение алгоритма
- •Алгоритмический процесс.
- •Основные вопросы теории алгоритмов.
- •Классификация алгоритмов.
- •Свойства алгоритмов.
- •Логика предикатов.
- •Интерпретация.
- •Истинность и выполнимость формул.
- •Нормальные алгоритмы Маркова.
- •Гипотеза Черча.
- •Машина Тьюринга.
- •Рекурсивные функции.
- •Алгоритмически неразрешенные проблемы.
- •Сложность алгоритмов.
- •Временная и вычислительная сложность.
- •Понятие p и np-задач.
- •Темпоральные логики. Нечеткая и модальные логики.
- •Примеры задач np-класса.
- •Логическое программирование.
- •Дедуктивные теории.
- •Свойства дедуктивных теорий. Противоречивость
- •Полнота
- •Независимость аксиом
- •Разрешимость
- •Формальные аксиоматические теории.
- •Свойство выводимости.
- •Логические матрицы.
- •Модели Крипке для логики высказываний.
- •Формальное определение
- •Основные понятия мЛиТа.
- •Логические функции.
- •Правила логики высказываний. Законы логики высказываний.
- •Основные понятия
- •Равносильность. Логическое следствие.
- •Кванторы.
- •Категорические высказывания. Высказывание Категорическое
- •Связанные и свободные переменные. Свободные и связанные переменные
- •Операции над кванторами
- •Общая значимость.
- •Логические функции.
- •Алгоритмы сортировки данных. Сортировка слиянием.
- •Алгоритмы сортировки данных. Сортировка «пузырьком».
- •Алгоритмы сортировки данных. Сортировка вставками.
- •Алгоритмы сортировки данных. Сортировка Шейкером.
- •Алгоритмы сортировки данных. Быстрая сортировка.
- •Алгоритмы сортировки данных. Сортировка подсчетом.
- •Моделирование алгоритмов программ с помощью блок-схем.
- •История развития математической логики.
- •Логика высказываний.
- •Булева алгебра и основные логические тождества.
- •Пропозициональные формулы и логические функции.
- •Аксиоматический метод исчисления высказываний.
Правила логики высказываний. Законы логики высказываний.
Логика высказываний (или пропозициональная логика) — это формальная теория, основным объектом которой служит понятие логического высказывания. С точки зрения выразительности, её можно охарактеризовать как классическую логику нулевого порядка. Логика высказываний является простейшей логикой, максимально близкой к человеческой логике неформальных рассуждений и известна ещё со времён античности.
Основные понятия
Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть логическое высказывание, — и (пропозициональная) формула, определяемая индуктивно следующим образом:
Если P — пропозициональная переменная, то — формула.
Если A — формула, то — формула.
Если A и B — формулы, то , и — формулы.
Других соглашений нет.
Знаки и (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция и импликация) называются пропозициональными связками. Подформулой называется часть формулы, сама являющаяся формулой. Собственной подформулой называется подформула, не совпадающая со всей формулой.
Законы де Моргана:
1) ;
2) ;
Закон контрапозиции:
;
Законы поглощения:
1) ;
2) ;
Законы дистрибутивности:
1) ;
2) .
Равносильность. Логическое следствие.
Отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Л.с. относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики, точного универсального определения не имеет; в частности, описание его с помощью слов "выводимо", "вытекает" и т. п. содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова "следует". Понятие Л. с. обычно характеризуется через связи с другими логическими понятиями, и прежде всего через понятия логического закона и модели.
логически вытекает высказывание "Если натрий непластичен, он не металл", поскольку импликация, основанием которой является первое высказывание, а следствием - второе, представляет собой частный случай логического контрапозиции закона.
В современной логике проблема адекватного описания Л. с. возникла в связи с тем, что логика классическая дает слишком широкое его описание, в ряде моментов не согласующееся с интуитивным представлением о следовании одних высказываний из других. В частности, согласно этой логике, из противоречия логически следует любое высказывание, логически истинное высказывание следует из любого и т. П.
Кванторы.
Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для любого…» или «любой…») и квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»). В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или навешиванием квантора. Существует также квантор плюральности (квантор Решера) W (перевёрнутая M). Wx означает "для большинства x".
Квантор — В логике предикатов, большое значение имеют 2-е операции называемые:
Квантор «Существования»
Квантор «Общности»
Высказывание означает, что область истинности предиката P(x) совпадает с областью значений переменной x.
(«При всех значениях (x) утверждение верно»).
Высказывание означает, что область истинности предиката P(x) непуста.
(«Существует (x) при котором утверждение верно»).