Вопрос 45. Касательная и нормаль к кривой на пл-ти.

 Определение 4.2   Число , в случае если задающий

его предел существует, называют производной функции

в точке и обозначают .

Иногда для уточнения говорят, что производная

вычислена по переменной .     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой,

проходящей через точку с угловым коэффициентом

, -- это

(где  -- текущая точка прямой),

то мы можем теперь выписать уравнение касательной

к графику при ,

то есть касательной, проходящей через точку

с угловым коэффициентом,

равным производной

функции в точке :

Пусть дана некоторая кривая ,

и в точке к этой кривой проведена касательная.

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно

касательной, называется нормалью к линии .

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии

Если касательная имеет угловой коэффициент ,

то нормаль имеет угловой коэффициент ,

поскольку ввиду перпендикулярности нормали и

касательной угол наклона нормали равен ,

а

Поэтому уравнение нормали к линии ,

проведённой через точку , имеет вид:

или

Вопрос 39.

Производная произведения двух функций равна произведению

производной первого сомножителя на второй плюс произведение

первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи

непрерывности и дифференцируемости: так как

функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны,

поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)'=с•u', где с = const; б)  (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.

Вопрос 40.

Производная частного двух функций   если

ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность

произведений знаменателя дроби на производную

числителя и числителя дроби на производную знаменателя,

а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть у=u/v. Тогда

 

Вопрос 30.

Арифметические свойства предела функции. Пусть функции f и g определены на интервале ( a, b ),

кроме быть может точки x₀. Если существует пределы

^{и ,}

то существуют пределы в левых частях равенств и

имеют место эти равенства :

^{a. б.}

Теорема А (предел суммы двух функции). Предел суммы двух

функций равен сумме пределов:

Доказательство. Представим функции в окрестности точки х=а в

виде суммы предела и бесконечно малой:

Тогда

В последнем выражении сумма бесконечно малых есть бесконечно

малая. Это означает, что сумма функций имеет пределом сумму А+В.

Вопрос 22.

Множество точек в пл-ти для кот абсолютная величина разности

расстояний до 2х фиксированных точек этой пл-ти называемых

фокусами есть вел-на постоянная.

x^2/a^2-y^2/b^2=1 – канонической ур-е гиперболы.

1. Кривая имеет центр симметнрии => достаточно построить только

в первой четверти а потом достроить остальные.

Центр симметрии гиперболы(т. О)-центр гиперболы.

2. I чет. X^2/a^2-y^2/b^2=1=>y^2=b^2*a^2-x^2/a^2=>y=±b/a

корень x^2-a^2 3. y=b/a корень x^2-a^2 в I чет

4.Д(у): x^2-a^2>=0;x^2>=a^2;│x│>=a

или x (-∞;-a]U[a;∞) в I чет. x [a; ∞).

Ox,y=0=>b/a корень x^2-a^2=0. x=±a. (a,0),(-a;0)- точки пересения с Ох.

Oy, x=0 Д(у)=>нет точек пересечения с Оу.

5. y`=b/a 1/2*корень x^2-a^2 *2x=b/a*x/корень x^2-a^.

В I чет y`>0=>y-возрастает; y``=(y`)`<0=>y-выпуклая.

Асимптота- прямая, расстояние до кот от точек кривой стремится к 0,

при неограниченном удаленном начала координат.

y=b/a*x- асимптота гиперболы. Замечание: b/a*x>b/a*корень x^2-a^2.

AA1-вершины гиперболы. СДЕF-основной прямоугольник гиперболы.

Замечание: если в ур-е а=в, то гипербола наз-ся равнобочной.

Асимптоты: y=±x они перпендикулярно для равнобочной гиперболы.

Если фокусы с Оу, то ось Оу- действительная ось, Ох- мнимая.

Ур-е может иметь вид: -x^2/a^2+y^2/b^2=1. а-мнимая полуось

b-действительная полуось.