Вопрос 12. Плоскость в пространстве.

Теорема 1: В декартовых координатах

всякая пл-ть в пространстве определяется

уравнением 1 степени.

Док-во:

Р- плоскость. Mo(Xo;Yo;Zo)eP

(фиксированная точка)

N(вектор)=в фиг скоб A;B;C P(нормаль к пл-ти)

M(x;y;z) P (текущая точка)

Рассмотрим MoM(вектора). MoM(вектора) Р;

-урав-е первой степени.

Теорема 2: Всякое ур-е 1 степени относительно

декартовых координат точки в пространстве

определяет пл-ть.

Док-во: Рассмотрим Ах+Ву+Сz+D=0.

Пусть (Xo;Yo;Zo)- решение ур-ния

=> Ахо+Вуо+Сzо+D=0. => A(X-Xo)+B(Y-Yo)+C(Z-Zo)+D=0;

A(X-Xo)+B(Y-Yo)+C(Z-Zo)+D=0 ~ Ax+By+Cz+D=0

но A(X-Xo)+B(Y-Yo)+C(Z-Zo)+D=0

по Т1. определяет пл-ть проходящую

через т.

-общ ур-е пл-ти ;

-уравнение пл-ти в отрезках ;

1. D=0 =>Ax+By+Cz=0–плоскость проходящая

через начало коорд-т.2. А=О=>By+Cz+D=0 – пл.|| ОХ

3. B=0=>Ax+Cz+D=0 – пл.|| ОУ.4. С=О=>Ax+By+D-пл.|| OZ.

5.А=0;D=0=>By+Cz=0 – пл. проходящая через Ох

6. В=0;D=0=>Ax+Cz=0 – пл. проходящая через Оу.

7. С=0;D=0=>Ax+By=0 – пл. проход-ая через Оz.

8. A=B=0=>Cz+D=0 – пл.|| хОу

9. B=C=0=>Ax+D=0 – пл. || уОz. 1

0. A=C=0=>By+D=0 – пл.|| xOz. 11. A=B=D=0=>Z=0 – xOy

12. A=C=D=0=>y=0 – xOz. 13. B=C=D=>x=0 – yOz

14. A;B;C;D 0.

13. Взаимное расположение пл-тей в пространстве.

Пл-ти в пространстве могут быть параллельными,

пересекающими и под прямым углом.

Пл-ти ||:

1.P1 P2. Угол между пл-ми наз двухгранный угол

который измеряется вписанном в него линейном уголом.

Этот линейный угол равен углу между

векторами нормалей этих пл-тей.

или

2. P1 || P2

Если координаты нормали

пропорциональны то координаты пропорциональны.

Пусть пл-ти :

3. P1 P2

Условие пл-ти в пространстве.

Вопрос 14. Различные виды уравнений пл-ти.

1.

Ур-е пл-ти проходящее через т. Мо заданному вектору D.

2. М1(X1;Y1;Z1); M2(X2;Y2;Z2); M3(X3;Y3;Z3) P. M(x;y;z) P.

Рассмотрим:

-комплонарные вектора 

Ур-е пл. проходящей через 3 заданные точки.

Замечание: Для получения ур-я пл-ти

нужно раскрыть определ. 1 строки.

3.

1 Способ

Выражает ур-е пл-ти проходящей через

заданную точку || 2м не комплонарным векторам.

2 Способ

Вопрос 15. Расстояние от точки до пл-ти

формула для нахождения расстояния от точки до пл-ти

Вопрос 16. Прямая в пространстве.

1. Мб задана как линия пересечения 2х пл-тей

-Общее ур-е прямой в пр-ве

2.

-направляющий вектор прямой L

-каноническое ур-в прямой в пр-ве.

3.

-ур-е прямой проходящей через 2 заданные точки

4.

-параметрические ур-я прямой в пр-ве.

Вопрос 17. Взаимное расположение прямых в пр-ве.

Пусть

-условие пересечения 2х прямых

Если cos φ>0 то это острый угол, cos φ<0 то это тупой угол

Вопрос 18. Взаимное расположение

прямой и пл-ти в пространстве

Углом между L и P наз-ся угол между этой

прямой и ее проекцией на эту пл-ть.

-условие параллельн.

-условие перпендикулярности

- условие L э P.

Вопрос 19. Прямая на плоскости

к анонический вид:

параметрический вид:

через две заданные точки:

с угловым коэффициентом:

Прямые перпендикулярны, если cos=1

Прямые параллельны, если k₁=k₂

Угол между прямыми:

Расстояние от точки до прямой:

Р асстояние от точки до плоскости:

Плоскости параллельны:

Плоскости совпадают:

Плоскости перпендикулярны:

Направляющие косинусы вектора:

свойство: