Вопрос 21. Эллипс.

Эллипс- множество точек в пл-ти для

которых сумма расстояний до 2х фиксир=х

точек этой пл-ти наз-мых фокусами есть вел-на постоянная.

-канонич-е ур эллипса

1. Кривая имеет центр симметрии => достаточно

простроить только в первой четверти,

а потом достроить остальные.

2. I четверть.

3.

4.

5.

6.

Оси симметрии:

Ох-большая Оу-малая;

a-большая ось эллипса b-малая.

Чем больше эксцентриситет тем

более вытянутую имеет форму

Замечание: F1;F2 Oy;b>a

Вопрос 27. Б.М.В и б.Б.В

y=(x)-бескон.малая,если в (.)x₀ lim_xx0(x)=0 бесконечно-малый

y=(x)-бескон.большая,если в (.)x₀ lim_xx0(x)=+ бесконечно-большой

теор1 если в (.)x₀ (x)-бескон.малая,то 1/(x)-бескон.большая

теор2 если в (.)x₀ (x)-бескон.большая,то 1/ (x)-бескон.малая

док-во1: lim_xx0(x)=0 ()(>0) x₀U^(x₀) : |(x)|< ,

|(x)|=1/|(x)|>1/ ,а это и означает в силу опр-я пред. б.б. lim_xx0(x)=0

док-во2: lim_xx0(x)=+ ()(>0) x₀U^(x₀) :| (x)|>1/

| (x)|=1/|(x)|< ,а это и означает в силу опр-я пред. б.м. lim_xx0(x)=

теор3 если в (.)x₀ R y=(x) имеет конечый предел,

то следующие 2 утв-я эквив-ны: lim_xx0(x)=A и (x)= (x)-A б.м. в (.)x₀

док-во:1)12 т.к.lim_xx0(x)=A ()(>0) x₀U^(x₀):A-<(x)<A+

что экв-но -<(x)-A<

()(>0) x₀U^(x₀) :|(x)|<  это означ.что lim_xx0(x)=0

замечание:принимая во внимание доказанную теорему 3 можно отметить,

что если бы можно дать опред-е б.м.,не испльзуя понят.предела,

то тогда конечный предел ф-и y=(x) можно было опред так:

A яв-ся пределом y=(x) в (.) x₀, если (x)= A-(x)

есть б.м. в (.) x₀ (или (x)= (x)-A)

? опр-е:a) говорят,что (x) ограничена сверху на X,если сущ-ет такое M,

что xX: (x)M ; b) говорят,что (x) ограничена снизу на X,

если сущ-ет такое m,что xX: m(x) ;c) говорят что (x) ограничена на X,

если сущ-ет такое k>0,что xX: |(x)|k

замеч-ие: если ф-я y=(x) на мн-ве X ограничена сверху и снизу,

т.е.M и m m(x)M ,то на этом мн-ве y=(x) ограничена  k>0,

xX |(x)|k,k=sup{|m|,|M|} теорема если в (.) x₀R,

(x)-б.м.,а (x) ограничена ,то lim_xx0((x)*(x))=0

док-во: (x)-огран. на U_(x₀) т.е. k>0 |(x)|<k,т.к. (x)-б.м. в (.) x₀ ,

то >0 >0 xU^_(x₀):| (x) |</k,

а тогда |(x)* (x) |</k*k= т.е. lim_xx0((x)*(x))=0

Вопрос 41. Дифференцир-е обратной и сложной ф-ции.

Пусть у = f(u) и тогда

сложная функция с промежуточным аргументом

и и независимым аргументом х.

Теорема (1) Если функция имеет производную

в точке х, а функция имеет производную

в соответствующей точке , то сложная функция

имеет производную в точке х, которая

находится по формуле .

По условию lim ∆u0 ∆y/∆u= .Отсюда, по теореме о связи функции,

ее предела и бесконечно малой функции,

имеем ∆y/∆u= +a или ( 2 ) при ∆u0.

Функция имеет производную в точке х:

поэтому где

Подставив значение ∆u в равенство(2),

получим т.е.

Разделив полученное равенство на ∆x и перейдя к пределу

при ∆x0,получим Для нахождения производной

сложной функции надо произ­водную данной функции по

промежуточному аргументу умномситъ на производную

промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в стиле, если промежуточных аргументов не­сколько.

Так, если то

Пусть - взаимно обратные функции.

Теорема 2. Если функция у = f(x) строго монотонна на интер­вале (а;b)

и имеет неравную нулю производную в произвольной точке

этого интервала, то обратная ей функция также име­ет

производную в соответствующей точке,

определяемую равен­ством или .

Если ∆у0 , то в силу непрерывности обратной функции прира­щение ∆х0.

И так как Lim ∆х0 ∆y/∆х=f`(x)неравное 0, то из ∆х/∆y=1/∆y/∆х

следуют равенства Lim ∆y0 ∆х/∆y=1/Lim ∆х0 ∆y/∆х=1/f`(x),

т.е. φ`(y)=1/f`(x). Таким образом, производная обратной ф-ции

равна обратной вел-не производной данной ф-ции.

Правило диффер-ния обрат ф-ции записывают так:

или dy/dx=1/dx/dy.