2.Основные сведения о компьютерах

2.1. Системы счисления

Система счисления - это совокупность приемов и правил изобра­же­ния чи­сел цифровыми значениями. Системы счисления делятся на по­зи­ционные и не­позиционные.

Непозиционная система счисления - система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Древнейшая непозицион­ная ситема счис­ления - римская. У славян также была непозиционная сис­тема счисления. Ос­новной недостаток непозиционных систем счисления - боль­шое число различ­ных знаков и сложность выполнения арифметиче­ских опе­раций.

Позиционная система счисления - система, в которой значения сим­вола зависят от его места в ряду цифр, изображающих число. Так, на­пример, в числе 7382: 7 - тысячи, 3 - сотни и т.д.

Позиционные системы счисления более удобны для вычислений, по­этому они и получили наибольшее распространение. Позиционные систе­мы счисления характеризуются своим основанием.

Основание (базис) позиционной системы счисления - количество знаков или символов, используемых для изображения числа.

Для позиционной системы счисления справедливо равенство

X(q) = a_n qⁿ + a_n-1 q^n-1 +.......+ a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + .......+a_-m q^-m = S a_i qⁱ ,

где q - основание системы счисления (целое положительное число); X(q)- произ­вольное число, записанное в системе счисления; a_i - цифры систе­мы счисления; m, n - количество дробных и целых разрядов. На практике ис­поль­зуют сокращенную запись чисел:

X(q) = a_n a_n-1 ......a₀ , a_-1 .....a_-m

В десятичной системе счисления основание q равно 10. В двоичной сис­теме счисле­ния для записи чисел используются две цифры: 0 и 1. В дан­ной сис­теме счисле­ния любое число может быть представлено после­дова­тель­но­стью двоич­ных цифр. Эта запись соответствует сумме степеней цифры 2, взятых с указан­ными в ней коэффициентами:

X(q) = a_n 2ⁿ + .......+ a_-m 2^-m .

Например, двоичное число

(1101101,101)₂ = (1´2⁶ + 1´2⁵ + 0´2⁴ + 1´2³ + 1´2² + 0´2¹ + 1´2⁰ +

+ 1´2^-1 + 0´2^-2 + 1´2^-3 )₁₀ =

= (64 + 32 + 8 + 4 + 1 + 1/2 + 1/8) ₁₀= (109,625)₁₀ .

В вычислительной технике наибольшее распространение получили дво­ичная, четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счис­ления соответственно с основаниями q равными 2, 4, 8 и 16. В шест­надца­теричной сис­те­ме счисления для записи чисел используются сле­дующие символы: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Число 10₁₆ = 16₁₀.

В большинстве случаев в компьютерах используется двоичная сис­те­ма счисления. Это обусловлено тем, что элементы компьютера способ­ны нахо­диться в одном из двух устойчивых состояний, например, включе­но (соответствует 1) - выключе­но.(соответствует 0)

Арифметические операции над двоичными числами отличаются про­сто­той и легкостью техники выполнения.

Например, сложение:

0 + 0 = 0; 1 + 0 = 1;

0 + 1 = 1; 1 + 1 = 1 0 (перенос единицы в старший разряд).

В современных компьютерах информацию представляют в битах (один двоич­ный символ) или байтах (пакетах по восемь двоичных симво­лов). Кроме того, используют пакеты по 16 (слово) и по 32 (двойное слово) двоичных сим­вола.

Базовым понятием представления информации остаются байты. Так, на­пример, любой печатный символ можно представить 1 байтом инфор­ма­ции, т.е., комбинацией из 8 бит. Таких комбинаций 256 и каждой ком­бинации со­ответствует типографский знак или символ. Например, ла­тин­ская буква А в американском стандарте ASCII представлена байтом 01000001. Этот стандарт используется в большинстве компьютеров.

Словом из 16 бит можно представить целое число от -32768 до +32767 (от -2¹⁵ до 2¹⁵-1), а двойное слово из 32 бит позволяет предста­вить число более двух миллиардов (от -2³¹ до 2³¹-1).

Когда для выполнения вычислений необходимо представить числа, то вместо представления, например, числа +123765321 с помощью 10 байт (9 деся­тичных цифр и знак) предпочитают более сжатый способ за­писи на ос­нове дво­ичного исчисления. При этом необходимо только че­тыре байта (слово из 32 бит), а следовательно, и меньше места в памяти. Когда необ­ходимо предста­вить еще большие числа вместо выстраивания нулей ис­поль­зуют обозначение “мантисса + показатель степени”. Напри­мер, число 2367220000000 записывает­ся в виде 2,36722´10¹². Это пред­ставле­ние чи­сел с “плавающей запятой”.

Данные в устройствах хранения информации запоминаются также байта­ми. Кроме байт используются следующие единицы:

килобайт, или Кбайт=1024 байта, т.е. 2¹⁰ бит;

мегабайт, или Мбайт=1024 Кбайт, т.е. 2²⁰ бит;

гигабайт, или Гбайт=1024 Мбайт, т.е. 2³⁰ бит.