- •Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
- •Вероятность в дискретных и непрерывных пространствах элементарных событий. Геометрические вероятности.
- •Классическая схема равновероятных событий.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •6.Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики.
- •7. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биноминальное распределение. Формула Пуассона.
- •8. Распределение Пуассона
- •9 . Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения, и их свойства. Свойства математического ожидания и дисперсии. Квантили. Мода, медиана, асимметрия и эксцесс.
- •11. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Условные распределения.
- •12. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Математическое ожидание произведения случайных величин.
- •13. Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случайных величин.
- •14. Функции случайных величин. Вычисление математических ожиданий. Нахождение закона распределения для функции одной случайной величины в случае дискретной и непрерывной случайной величины.
- •15. Законы больших чисел и предельные теоремы. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра – Лапласа.
- •16. Асимптотическое распределение среднего арифметического независимых случайных величин и относительные частоты.
15. Законы больших чисел и предельные теоремы. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра – Лапласа.
Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел.
Закон больших чисел.Если случайные величины x1, x2, …, xn, … попарно независимы и ,то для любого e > 0
Теорема Бернулли. Пусть m n - число успехов в n испытаниях Бернулли и p - вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда при любом e > 0 справедливо
Неравенство Чебышева. Если случайная величина x имеет дисперсию, то для любого e > 0 справедливо неравенство , где Mx и Dx - математическое ожидание и дисперсия случайной величины x
Центральная предельная теорема. Если случайные величины x1, x2, …, xn, … попарно независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то при n → ∞ равномерно по x (-∞ , ∞)
Теорема Муавра — Лапласа. Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха то есть пусть дана последовательность независимых случайных величин где
Определим как число успехов в первых n испытаниях:
Тогда:
то есть: