11. Системы дискретных случайных величин. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Условные распределения.

Система двух дискретных случайных величин. ; (Х; Y) P [X= ; Y = ] = (i=1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m)

X/Y	Y1	Y2	…	Ym
X1	P11	P12	…	P1m
X2	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…	…
Xn	Pn1	Pn2	…	Pnm
			…

; = ; - условное распределение.

Независимость координат – сл.в. Х и Y независимы тогда и только тогда, если (i=1,2,…,n; j=1,2,…,m). - необходимое и достаточное условие независимости сл.в.

Ковариация - это мера линейной зависимости двух случайных величин. Коэффициент ковариации показывает степень зависимости между двумя величинами и есть ли она вообще. . Свойства коэффициента ковариации: 1) если Х и Y независимы, то cov (X;Y) = 0, обратное не верно; 2) cov (aX; bY) = ab cov (X;Y).

Коэффициент корреляции: Свойства: 1) 1; 2) если Х и Y независимы, то cov = 0 и ρ = 0, обратное не верно! 3) если ρ=1, то между Х и Y имеется линейная связь (X и Y линейно зависимы); 4) если ρ , между Х и Y линейной зависимости нет (они не коррелированны).

12. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин. Математическое ожидание произведения случайных величин.

Z (сл.в. – функция двух сл.в.) = φ(X;Y)

M [Z] = M [φ(X;Y)]=

M [X+Y] =

M[XY] = M[X]*M[Y], если X и Y независимы. M[XY] =

= D[X]

= D[Y]

13. Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость случайных величин.

Как мы знаем, если и - независимые случайные величины, то по свойству математического ожидания:

Если же и не являются независимыми случайными величинами, то, вообще говоря:

Условились за меру связи (зависимости) двух случайных величин и принять безразмерную величину , определяемую соотношением:

- коэффициент корреляции

Если и - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен нулю (обратное неверно).

Коэффициент корреляции: Свойства: 1) 1; 2) если Х и Y независимы, то cov = 0 и ρ = 0, обратное не верно! 3) если ρ=1, то между Х и Y имеется линейная связь (X и Y линейно зависимы); 4) если ρ , между Х и Y линейной зависимости нет (они не коррелированны).

14. Функции случайных величин. Вычисление математических ожиданий. Нахождение закона распределения для функции одной случайной величины в случае дискретной и непрерывной случайной величины.

Пусть случайная величинаY является функцией случайного аргумента X с заданным законом распределения

Требуется, не находя закона распределения величины Y, определить ее математическое ожидание

ПустьX — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Составим таблицу значений величины Y и вероятностей этих значений:

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины Y, так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины Y можно определить по формуле

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

г де f(x) — плотность распределения вероятностей случайной величины X.

1 .

2.

µ_xy- корреляционный момент

Следствие.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дана система случайных величин , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Требуется определить закон распределения случайной величины Y, зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Пусть X — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

Тогда Y также дискретная случайная величина с возможными значениями . Если все значения различны, то для каждого события и тождественны. Следовательно,

и искомый ряд распределения имеет вид

Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения случайной величины , найти плотность распределения случайной величины . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале , на котором лежат все возможные значения величины X. Тогда обратная функция существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция такова, что обратная функция неоднозначна, т. е. одному значению величины y соответствует несколько значений аргумента x , которые обозначим , где n — число участков, на которых функция изменяется монотонно. Тогда