Программа экзамена по курсу «теория вероятностей и математическая статистика»

ЭКТ – 2 (4-й семестр, 2012 – 2013 учебный год)

1. Пространство элементарных событий; σ-алгебра событий.

2. Вероятностное пространство. Вероятность и её свойства. Теорема сложения.

3. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности.

4. Геометрические вероятности. Задача Бюффона.

5. Условные вероятности, теорема умножения. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

6. Независимость событий (попарная и в совокупности).

7. Случайные величины: основные понятия; функция распределения случайной величины, её свойства.

8. Дискретные случайные величины. Функция распределения случайной величины дискретного типа. Индикаторы.

9. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения, её свойства.

10. Функции одного случайного аргумента для дискретных и непрерывных случайных величин.

11. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, его свойства (без мультипликативного свойства).

12. Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия, её свойства (без аддитивного свойства).

13. Числовые характеристики случайных величин: мода и медиана, квантили.

14. Биномиальное распределение: математическое ожидание, дисперсия и наиболее вероятное значение.

15. Распределение Пуассона: математическое ожидание, дисперсия и наиболее вероятное значение. Теорема Пуассона.

16. Теоремы Муавра-Лапласа (без доказательства).

17. Геометрическое распределение: математическое ожидание и дисперсия.

18. Равномерное распределение: функция распределения, математическое ожидание и дисперсия.

19. Показательное (экспоненциальное) распределение: функция распределения, математическое ожидание, дисперсия.

20. Нормальное распределение: математическое ожидание, дисперсия, функция распределения.

21. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

22. Совместная функция распределения, её свойства.

23. Дискретные двумерные случайные величины: закон распределения, одномерные законы распределения компонент, построение функции распределения.

24. Непрерывные двумерные случайные величины: свойства двумерной плотности распределения.

25. Зависимые и независимые случайные величины. Условия независимости для дискретных и непрерывных случайных величин.

26. Условные законы распределения для системы случайных величин (дискретных и непрерывных).

27. Независимые случайные величины: мультипликативное свойство математического ожидания, аддитивное свойство дисперсии.

28. Числовые характеристики системы двух случайных величин: моменты начальные и центральные, ковариация.

29. Коэффициент корреляции. Связь между понятиями независимости и некоррелированности случайных величин.

30. Условные числовые характеристики системы двух случайных величин. Регрессия.

31. Двумерные распределения: равномерное и нормальное.

32. Функции от многомерных случайных величин. Задача композиции.

33. Распределения, используемые в математической статистике: «хи-квадрат»; Стьюдента; Фишера.

34. Первое и второе неравенства Чебышёва.

35. Теорема Чебышёва (закон больших чисел). Теорема Бернулли.

36. Центральная предельная теорема (без доказательства).

37. Выборка и способы её представления. Числовые характеристики выборки.

38. Точечные оценки параметров распределения, основные требования. Несмещённость и состоятельность выборочного среднего. Несмещённость выборочной «исправленной» дисперсии.

39. Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

40. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.

41. Доверительный интервал для дисперсии нормальной генеральной совокупности при неизвестном математическом ожидании.

42. Проверка параметрических гипотез при помощи критерия значимости. Ошибки первого и второго родов.

43. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей при неизвестных математических ожиданиях.

44. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при неизвестных равных генеральных дисперсиях.

45. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при неизвестных не равных генеральных дисперсиях.

46. Критерий «хи-квадрат» и его применение.