32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).

Тэарэма1: P алгебрычны над Р к.і т.к [P(a): P]< .

У гэтым выпадку [P(a): P] роўная ступені мінімальнага палінному элемента а над полем Р

Тэарэма2: Няхай F пашырэнне поля Р, А- мноства элементаў з F, алгебрычных над Р. Тады А - падполе поля F.

Азн.1: Поле наз алгебрычна замкнёным, калі адвольны паліном ненулевой ступені над Р мае корань у поле Р

Тэарэма3: Поле алгебрычна лікаў алгебраічна замкнёнае.

Гэта зн, што адвольнаы корань паліному ненулявой ступені, каэфіцыенты якога алгебрычныя лікі, ёсць алгебрычны лік.

Тэарэма4: Поле алгебрычных лікаў злічанае

_Азн.2: Элемент а Р наз алгебрычным над Р ,калі існуе ненулявы элемент 0 ≠ f(x) _{P[x] f(a)=0, трансцэндэнтным над Р, калі такого паліному няма}

_{0 f(x) P[x] f(a) 0}

_{Прыклад: 21/2 - алгебрычны лік}

36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).

Лема: Паліном няцотнай ступені з рэчаіснымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін рэчаісны корань.

Тэарэма1: Кожны паліном ступені n≥1 з рэчаіснымі каэфіцыентамі мае прынамсі адзін рэчаісны корань.

Тэарэма2: Адвольны паліном ненулявой ступені над С мае камплексны корань.

Тэарэма3: Адвольны паліном няцотнай ступені над полем R мае рэчаісны корань.

Тэарэма4: Адвольны паліном ненулявой ступені над R мае камплексны корань.

Тэарэма(Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў): Поле камплексных лікаў алгебрычна замкнёнае.