3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.

Азн.1: Няхай n N, a,b Z. Будзем казаць, што a параўнальны з b па модулі n, калі n дзеліць (a-b), г.зн. (a-b) дзеліцца на n. Запісваецца a b(mod n).

Уласцівасці парананняў:

;

2) ;

3) ;

;

Сцв.1: Цэлыя лікі a,b Z, к.і т.к. яны маюць роўныя астачы пры дзяленні на n.

Вызначым на мностве аперацыі складання і множання формуламі:

Тэарэма 1: Мноства у дачыненні да аперацыяў (1) ёсць камутатыўнае колца з адзінкаю.

Колца наз. колцам рэштаў па модулі n.

Тэарэма 2: абарачальны ў к.і т.к. узаемна простыя.

Вынік: ёсць поле к.і т.к. - просты лік.

4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.

Азн.1: Падколца I колца K наз. двухбаковым ідэалам колца K, калі: .

Тэарэма 1(крытэр ідэалу): Непустое падмноства поле з’яўл. ідэалам колца K к.і т.к. яно задавальняе наступным умовам:

.

Тэарэма вынікае з азн. ідэалу і другога крытэру падколца.

Прыклады:

1) Няхай n фіксаваны цэлы лік, абазначым праз

;

2) У адвольным колцы : (0) , .

Сцв.1: Няхай - колца з адзінкай і I змяшчае абарачальны элемент колца К, тады I=K.

Тэарэма2: У полі F адзінымі ідэаламі з’яўл. (0), F -трывіяльныя, а ўсе астатнія не трывіяльныя.

Азн.2: Камутатыўнае колца з 1 ≠0, у якім кожны ідэал галоўны, наз. колцам галоўных ідэалаў.

Тэарэма 3: Колца цэлых лікаў Z ёсць колца галоўных ідэалаў.

Тэарэма 4: Няхай F – адвольнае поле, колца паліномаў F[x] ёсць колца галоўных ідэалаў.

Тэарэма 5: Колца рэштаў з – колца галоўных ідэалаў

Сцв.2: Ідэал (n) колца Z максімальны ў Z к.і т.к. n – просты лік.

8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.

Азн.1: Няхай K, R – колцы. Біекцыйнае адлюстраванне наз. ізамарфізмам колца K на колца R, калі

, .

Калі існуе некаторы ізамарфізмам , будзем казаць, што колца K ізаморфнае колцу R, і пісаць .

Ізамарфізм колца K на сябе наз. аўтамарфізмам колца K.

Уласцівасці ізамарфізмаў колцаў:

1. Для адвольнага колца K тоеснае адлюстраванне ёсць ізамарфізм, г.зн. .

2. Калі - ізамарфізм колца K на колца R, тады – таксама ізамарфізм. , тады .

3. Калі , – ізамарфізмы колцаў, тады – ізамарфізм. , .

Прыклады:

1. Адлюстраванне такое, што – ізамарфізм.

2. Няхай – ізамарфізм колцаў, 1- адзінка колца K. Тады - адзінка колца R.

Азн.2: Адлюстраванне наз. гомамарфізмам колцаў, калі

, .

Такім чынам, ізамарфізм –гэта біекцыйны гомамарфізмам.

Адвольны гомамарфізм колцаў ёсць ізамарфізм.

Прыклады:

1. Няхай K і R – адвольныя колцы, 0’ - нуль колца R.

Адлюстраванне , - гомамарфізм. Гэты гомамарфізм наз.нулявым.

2. К – падколца колца R, i(a)=a, a - гомамарфізм колцаў, і - укладанне К у R.

Уласцівасці гомамарфізмаў колцаў:

Няхай – гомамарфізм колцаў, тады:

1. Калі 0 – нуль колца K, а 0’ - нуль колца R, тады ;

2. ;

3. Калі – падколца колца K, тады – падколца колца K, - вобраз мноства: ;

4. Калі – падколца колца R, тады – падколца колца K, - поўны правобраз ;

5. ;

6. Калі - гомамарфізм, тады: - гомамарфізм.

Азн.3: Няхай : K→R гомарфізм 0^’-нуль R, поўны правобраз нуля ^-1(0^’)={аєК| (a) є 0^’}= Ker наз. ядром .

Тэарэма1: Ядро гомамарфізму колцаў ёсць ідэал колца K.

Тэарэма2(пра гомамарфізмы колцаў). Няхай : K→R гомамарфізм колцаў тады Im Ker.