- •1.A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.
- •2.A. Колца, поле. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці. Два крытэры падколца. Два крытэры падполя.
- •3.A. Параўнанні. Колца рэштаў. Абарачальныя элементы колца рэштаў.
- •4.A. Ідэал колца. Азначэнне, прыклады, крытэр ідэалу.
- •8.A. Ізамарфізмы і гомамарфізмы колцаў. Азначэнні, прыклады, уласцівасці.
- •14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
- •15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
- •16.A. Сіметрычная група. Раскладанне падстановы ў здабытак незалежных цыклаў (без доказу). Парадак падстановы. Цотнасць падстановы (без доказу карэктнасці азначэння цотнасці). Зменназнакавая група.
- •18.A. Ізамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •22.A. Гомамарфізмы групаў. Азначэнне, прыклады, уласцівасці.
- •24.A. Колца паліномаў ад некалькіх зменных. Лексікаграфічны запіс паліномаў.
- •25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
- •28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
- •30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
- •32.A. Алгебрычныя і трансцэндэнтныя элементы. Поле алгебрычных элементаў. Алгебрычная замкнёнасць поля алгебрычных лікаў (без доказаў).
- •36.A. Асноўная тэарэма алгебры камплексных лікаў (без доказу).
14.A. Група. Азначэнне, прыклады, уласцівасці. Два крытэры падгрупы.
Азн.1: Непустое мноства , на якім вызначаны бінарная алгебрычная аперацыя •, наз. групай , калі выконваюцца наступныя аксіёмы:
Аперацыя • асацыятыўная, г.зн.
Існуе нейтральны элемент у дачыненні да аперацыі •, г.зн. такі элемент, што
;
існуе сіметрычны элемент, г.зн. такі элемент што .
Множанне – мультыплікатыўная група.
Складанне – адытыўная група.
Прыклады:
2)
Азн.2: Падмноства H групы G наз. падгрупай групы G, калі H –група ў дачыненні да аперацыяў, вызначаных ў G. Абазначаецца H<G.
Азн.3: Група G наз. абэлевай (камутатыўнай), калі аперацыя ў G камутатыўная, г.зн. для .
Азн.4: Група наз. канцоўнай, калі ў ёй канцоўная колькасць элементаў. Колькасць элементаў у канцоўнай групе G наз. парадкам групы і абазначаецца │G│.
Уласцівасці групаў:
Для адвольных элементаў кожнае з раўнанняў ах= і уа= мае ў адзіны развязак
х=а-1 і у= а-1 адпаведна;
Для адвольных (ab)-1=b-1a-1;
Адзінка падгрупы H групы G ёсць адзінка групы G;
У групе G толькі адна адзінка. Для кожнага элементу з G ёсць толькі адзін адваротны элемент.
Тэарэма1(1 крытэр падгрупы): Непустое падмноства H групы G ёсць падгрупа групы G к.і т.к :
.
Тэарэма2(2 крытэр падгрупы): Непустое падмноства H групы G ёсць падгрупа групы G к.і т.к для адвольных элемент .
15.A. Спараджальнае мноства (сістэма ўтваральных) падгрупы. Цыклічная група. Падгрупы цыклічнай групы.
Сцв.1: Перасячэнне адвольнага мноства падгрупаў групы G ёсць падгрупа групы G.
Азн.1: Няхай M падмноства групы G, перасячэнне ўсіх падгрупаў групы G, якія змяшчаюць мноства M, будзем абазначаць і наз. падгрупай спароджанай мноствам M, а само M наз. спараджальным мноствам (ці мноствам утваральных) падгрупы (M).
Відавочна (M) ёсць найменшая падгрупа групы G, якая змяшчае M, г.зн. калі .
Тэарэма1: Няхай . Падгрупа спараджальная
.
Азн.2: Група, спароджаная адным элементам наз. цыклічнай.
Азн.3: Найменшы натуральны , які адпавядае ўмове , наз. парадкам элементу .
Калі для кожнага , тады a наз. элементам бясконцага парадку.
Абазначаецца .
Тэарэма2: 1) Калі - элемент парадку , тады група ( ) – канцоўная парадку і .
2) Калі - элемент бясконцага парадку, тады група ( ) – бясконцая і для n≠k n,k .
Заўвага: Калі - элемент парадку , тады .
У прыватнасці .
Тэарэма3: Кожная падгрупа цыклічнай групы -цыклічная.
Сцв.2: Няхай . Для адвольнага k парадак .
Сцв.3: У цыклічнай групе парадку n, для адвольнага натуральнага k, k | n існуе адзіная падгрупа парадку k.
Тэарэма 5: 1) Адвольная бясконцая цыкічная група ізаморфная адытыўнай групе Z;
2) Адвольная канцоўная цыклічная група парадку n ізаморфная групе C(n) камплексных каранёў ступені n з адзінкі.