25.A. Сіметрычныя паліномы. Формулы Віета. Асноўная тэарэма пра сіметрычныя паліномы (без доказу).
К - камутатыўнае колца з адзінкай.
Азн.1:
Паліном f(x1,…,xn)
K[x1,…,xn]
наз сіметрычным, калі ён не змяняецца
пры перастаўленне двух зменных
f(x1,…,xi,…,xj,…,xn)=f(x1,…,xi-1,xj,xi,…,xj-1,xi,xj,..,xn) 1=<i<j=<n.
Тэарэма1: Мноства ўсіх сіметрычных паліномаў з К[x1,…,xn] ёсць падколца колца К[x1,…,xn].
Тэарэма2: Палиномы
σ1=х1+х2+..+xn
σ2=х1 х2+х1 х3+..+ х1xn+ х2 х3+…+ хn-1 хn
σ3=х1 х2 х3+х1 х2х4+….+ хn-2 хn-1 хn
……………….
σn=х1 х2…хn
называюцца элементарнымі сіметрычнымі паліномамі ад n зменных.
Коэфіцыенты паліномаў ад адной зменных = элементарных сіметрычным паліномаў ад каранёў гэтага паліномаў са знакам “+” ці “--” наз формулы Віета.
Тэарэма1(Пра сіметрычны паліном): Няхай К - камутатыўнае колца з адзінкай. Для адвольнага сіметрычнага паліному f(x1,…,xn) K[x1,…,xn] існуе адзіны паліном g(x1,…,xn) K[x1,…,xn] такі,што f(x1,…,xn)= g(ɓ1(x1,…,xn), ɓ2(x1,…,xn),…,ɓn(x1,…,xn)).
28.A. Тэарэмы Ойлера, Фэрма і Вільсана (без доказаў).
Азн.1:
Функцыя
такая,
што
ёсць
колькасць лікаў з шэрагу 1,2,3,…,
n,
узаемна
простых
з n,
наз.
функцыяй Ойлера.
Тэарэма1:
Функцыя
Ойлера мультыплікатыўная, г.зн. калі
(a,b)=1,
тады
Тэарэма2:
Калі
n=
- кананічны расклад ліку n,
тады
Тэарэма3 (Ойлера): Няхай m – натуральны лік, - цэлы лік. Калі (a, m)=1, тады аφ(m)=1(mod m).
Тэарэма4 (Малая тэарэма Фэрма): Калі - цэлы лік, р -просты лік, тады ар а(mod p)
Тэарэма5(Вільсана): Для адвольнага простага р
(р-1)!
-1(mod
p)
30.A. Тэарэма пра існаванне кораня (без доказу). Поле раскладу паліному.
Няхай Р – поле, f(x) P[x], deg f(x)>0, няхай f(x) нямае караеёў у поле Р.
Тэарэма1(пра існаванне кораня): Для адвольнага поля Р і адвольнага паліному ненулявой ступені f(x) P[x]. Існуе пашырэнне поля Р, у якім ёсць прынамсі адзін корань паліному f(x).
Вынік: Існуе пашырэнне поля Р, у якім паліном f(x) раскладаецца на лінейныя множнікі.
Вынік
’:
Існуе пашырэнне F
Р,
у якім f(x)
мае n
– каранёў, калі кожны корань лічыць
столькі разоў, якая ягоная кратнасць
(n=deg
f(x)).
α1,α2,…, αn F, f(αi)=0, i=1,…,n
P(α1,α2,…, αn) называецца полем раскладу f(x) над P.
Тэарэма2: Для адвольнага паліному ненулявой ступені над полем P існуе поле раскладу.
Вынік:
Няхай
F,
– палі
раскладу паліному f(x)
P[x]
ненулявой
ступені. Тады F
і
Р-ізаморфныя.