10.B. Лема: ├ а а для адвольнай формулы a.

Лема 1.

|-А=>А для адвольнай формулы А.

Доказ.

Пабудуем вывядзенне формулы А => А у тэорыі L .

1.{ А => ((А => А)=> А)) => ((А => (А => А)) => (А => А)) (падстанова ў схему аксіёмаў (А2) замест А, В, С формулау А, А => А і А адпаведна; мы будзем запісваць гэта наступным чынам: А <— А, В <— (А => А), С <— А );

2. А => ((А => А) => А) (падстановаў схему аксіёмаў(А 1): А <— А, В <— (А => А));

3. (А => (А => А)) => (А => А) (з 2, 1 паводле MP);

4. А => (А => А) (падстанова ў схему аксіёмаў (А1): А <— А, В <— А );

5. А => А (з 4, 3 паводле MP).

11.В. Тэарэма дэдукцыі (без доказу). Вынікі.

Сцверджанне 1 (Тэарэма дздукцыі). Калі Г - мноства формулаў, A і В - формулы і Г, А|-В , гады Г|-А => В . У прыватнасці, калі А|- В , тады |-А=>В.

Заўвага 1. Доказ тэарэмы дэдукцыі дазваляе па дадзеным вывядзенні В з Г і А пабудаваць вывядзенне А=> В з Г . Вынік 1. А -> В, В => С |-А => С для адвольных формулаў А, В, С .

Зынік 2. А=>(В => С), В|-А=>С .

Заўвага 3. Сцверджанне, адваротнае да тэарэмы дэдукцыі, таксама праўдзівае. Сапраўды, калі Г|- А => В, тады паводле MP маем Г, А |-В .

Вынік 3. Няхай А_х,А₂,...А_к,В - формулы, к>1.А_],А₂,...А_к |-В каліітолькікалі

|-А₁=>(А₂ =>...=> (А_n-1=> (А_к=>В ))...) .

14.В. Лема 2 для тэарэмы пра поўнасць.

Лема 2. Для адвольных формулаў А, В настунныя фор­мулы з'яўляюццатэаромамі злічэння выказванняў:

1. В => В ;

2. В => В ;

3. А => (А => В),

4. (В => А) =>(А=>В);

(e) (А =>B)=> (B=> A);

6. A => (B =>  (А => B));

7. (A => B) => (A => B)=>B).

15.В. Лема 3 для тэарэмы пра поўнасць (без доказу).

Лема 3. Няхай А - формула, В₁,...,В_к - прапазіцыйныя літары, якія ўваходзяць у А , і няхай ёсць пэўны набор значэнняўдля B₁,...,B_k b₁⁰,...,b_k⁰. Няхай

В_i'=

A'=

тады В₁',...,В_к|- А '.