5.A. Лагічная выснова. Раўназначныя азначэнні (у алгебры выказванняў).

Азн. Прапазіцыйная формула А наз. лагічнай высновай прапазіцыйных ф-л В₁,В₂,...В_к,калі для ўсіх набораў значэнняў прапазіцыйных літараў якія уваходзяць у гэтыя ф-лы такіх,што лагічнае значэнне (В_і)=1, і=1,к ,(А)=1

Абазн.В₁,...,Вк|=А.

прыклад:А,АВ, |=В

А В А В

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Зауважым А|=В з"яул. моцным сцв. калі |=А,тады |=В

Няхай В₁,...,В_к,А-прапазіц. ф-лы(1)

Сцв1.В₁,...,В_к |= А к. і т. к. В₁,...В_К-1 у прыватнасці

В|=А к.і.т.к. |= (В А) (к>=1).

Сцв2.В₁,...,В_к |= А к. і т. к. |=В₁  (В₂ ....

(В_к-1 (В_к  А))...) (к>=1)

|= (В₁В₂...В_к  А) (к>=2)

8.А. Аксіяматычныя тэорыі. Выводныя формулы (тэорэмы), вывядзенне з мноства гіпотэзаў.

Фармальная (аксіяматычная) тэорыя лічыцца вызначанай, калі выконваюцца наступныя ўмовы:

1)Ёсць злічонае мноства сымболяў тэорыі L.

2) Канцоўныя паслядоўнасці сымболяў тэорыі L наз выразам тэорыі L; вызначана падмноства

3)вывучана падмноства форм тэоры L, якія наз аксіёмамі тэорыі L

4)Ёсць канцоўнае мноства R₁ ,R₂,.., R_к дачынненяў паміж формуламі тэорыі L . Для кожнага i,і=1,к існуе натуральны j такі , што для адвольных j формулаў

А₁ ,.., А_j і адвольнай формулы В можна сказаць, ці знаходзяцца формулы А₁ ,.., А_{j ,}В у дачыннені R_і

R_і наз правіламі вывядзення, і калі А₁ ,.., А_{j ,}В знаходзяцца ў дачыннені R_і тады кажуць,што В ёсць непасрэдным вынікам дадзеных j формула паводле правіла R_і.

Азн.1: Вывядзеннем у тэорыі L наз канцоўная паслядоўнасць формулаў А₁ ,.., А_к такая, што для кожнага A_і ці аксіёма тэоры L, ці атрымана з некаторых папярэдніх формулаў паводле аднаго з правілаў вывядзення.

Азн.2: Формула В тэорыі L наз выводнай формулай, калі існуе вывядзенне А₁ ,.., А_к , В= А_к

Азн.3: Няхай Г некаторае мноства формулаў тэорыі L. Формула В тэорыі L наз выводнай з мноства Г, калі існуе канцоўнае паслядоўнасць формулаў А₁ ,.., А_к такая_,што кожнага A_і ці аксіёма, ці элемент Г, ці атрыманага з некаторых папярэдніх формулаў паводле аднаго з правілаў вывядзення. В= А_к

Г |-- В

Элемент Г-гіпотезы

В ёсць вынік мноства гіпотэзаў Г

9.A. Злічэнне выказванняў. Формулы, аксіёмы, правіла вывядзення

Пабудуем нармальную тэорыю тэорыю L

1)Сымболямі тэорыі L зяўляюцца літары A_i- прапазіцыйным літарам , ­­­- прымітыуныя злучнікі (,)

2)(а) Усе прапазіцыйныя літары - формулы тэорыі L;

(в) Кал А ,В - формулы тэорыі L, то (А), (А=>В) - таксама формулы тэорыі L;

(с) іншых формулаў няма

3)Для адвольных формлаў А, В, С тэорыі L наступныя формлы - аксіёмы тэорыі L:

(А1) (А=>(В=>А));

(А2) (А=>(В=>С))=>((А=>В)=>(А=>С));

(А3) ((В)=>( А))=>(( В)=>А)=>В).

4)тэорыя L мае адзінае правіла вывядзення - правіла modus ponens (MP): В ёсць непасрэдны вынік формулаў А, А=>В.

Астатнія злучнікі алгебры выказванняў увядзем з дапамогаю абазначэнняў :

(АВ)=(  (А=> (В) )

(АВ)=((  А)=>В) (1)

(А<=>В)=((А=>В)  (В=>А))