Геометрия Евклида.

Всем хорошо известно, что геометрия окружающего нас пространства - евклидова. Она была открыта путем наблюдений, а затем свыше 2 тыс. лет назад сформулирована 300 г.до н. э.(3 век до н.э.)Евклидом в виде постулатов и аксиом.

• Надо отметить, что проникновение геометрии в дедуктивную систему произошло

• в Древней Греции. Первые геометрические теоремы были доказаны учеными ионийской школы натурфилософии (первая половина IV в. до н.э.). А именно они доказали, что:

1. Диаметр делит круг пополам;

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны;

3. Пересекающиеся при пересечении двух прямых противолежащие углы равны;

4. Треугольники, имеющие одну равную сторону и два равных угла, равны (эта теорема использовалась Фалесом для обоснования способа определения расстояния от берега до корабля).

Постепенно наполнение и совершенствование определений постулатов и теорем в работах греческих математиков VI-III в.в. до н.э. вылилось в стройную дедуктивную систему «Начал» Евклида (Ш в до н э). Они состоят из 13 книг. Каждая( книга начинается с определений. Кроме того, первой книге предшествует 5 постулатов и 5 аксиом,

Собственно геометрии посвящено 5 книг.

• Постулаты и аксиомы Евклида лежащие в основе его геометрии представляют собой очевидные утверждения, принимаемые без доказательств.

Рассмотрим постулаты «Начал»:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. Из всякого центра всяким раствором циркуля может быть описан круг.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, с которой углы в сумме меньше двух прямых.

Пятый постулат удивлял ученых сложностью своей формулировки. Он походил более на теорему, чем на постулат. Уже в древности его пытались заменить другим, более наглядным. Так, у Прокла (V в. до н. э.) встречаются формулировка «пятого» постулата, которая вошла теперь во все школьные курсы; «через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данной».

Много сил потратили математики, чтобы освободиться от пятого постулата, но сделать этого не удалось, хотя геометры занимались этой проблемой на протяжении более 2 тысяч лет. Выбор, постулатов и аксиом в «Началах» очень удачен, почти все они вошли в современную аксиоматику. Однако постулатов и аксиом «Начал» недостаточно для дедуктивного построения геометрии. Евклид не сформулировал многое из того, чем он пользуется в дальнейшем. Так в «Началах» нет, стереометрических постулатов. Нет и аксиом движения, за исключением 4-ой аксиомы.

Само содержание «Начал» не исчерпывается элементарной геометрией - это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная база для дальнейших исследований.

Влияние «Начал» на дальнейшее развитие математики огромно. Уже Архимед, Апполоний и другие античные математики опирались на них в своих исследованиях по математике и механике. В конце VIII - начала IХ вв. появились первые переводы «Начал» на арабский язык, а в первой четверти ХП в - на латинский язык. В странах ислама и в Европе средних веков «Начала» служили настольной книгой каждого серьезного математика, их неоднократно переписывали, переиздавали печатно, комментировали, перерабатывали для преподавания.

Начало бурного развития механики как науки о движении тел относится к середине XVII в. Механика этого периода была опытной наукой. В результате сообщения громаднейшего количества опытных данных И. Ньютоном были сформулированы три его закона динамики и закон тяготения. Это дало возможность решить обширный круг задач о

движении тел. Геометрия Евклида нашла воплощение в законах Ньютона. По существу, с этого момента, изучение механических явлений стало не только проверкой законов Ньютона, но и евклидовой геометрии. Однако в этот период это еще не было осознано, поскольку в Геометрии Евклида, в ее единственности как логической силы, сомнения не было.