vostrikov

Основными элементами цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ), как видим, являются:

•О – непрерывный объект управления;

•контроллер (микропроцессор, микроконтроллер, микроЭВМ, ПЭВМ, УВМ);

•А/Ц и Ц/А – аналого-цифровой и цифроаналоговый преобра-

зователи, к которым предъявляются требования синхронности и синфазности их работы;

•таймер, предназначенный для синхронизации работы всей сис-

темы.

Назначение контроллера – формировать управляющее воздействие, обеспечивающее заданное качество работы системы.

В дальнейшем будем рассматривать как одноканальные объекты

управления, так и многоканальные, для которых (v, u, y) Rm , где v – входные задающие сигналы; u – управляющие воздействия; y – выходные, контролируемые переменные объекта управления, доступные измерению; m – число каналов управления в объекте.

Главная особенность ЦСАУ состоит в том, что управляющие воздействия, формируемые с помощью ЭВМ, принимают дискретные значения в дискретные моменты времени, т.е. они квантованы как по уровню, так и по времени. В дальнейшем мы не будем учитывать квантование управляющих воздействий по уровню, поскольку современные контроллеры имеют достаточно высокую разрядность АЦ и ЦА и «вес» одного разряда сопоставим с точностью измерения контролируемых переменных объекта управления. Управляющие воздействия вычисляются по заданному алгоритму с помощью контроллера и передаются на ЦА, который фиксирует значения воздействий на время, равное шагу квантования Т, т.е. представляют собой последовательность импульсов, появляющихся в фиксированные моменты времени.

7.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

7.2.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Они являются основным аппаратом описания линейных импульсных систем. В отличие от дифференциальных, где аргумент – непрерывное время, в разностных уравнениях аргумент – дискретное время. Многоканальный объект описывают разностным уравнением в век- торно-матричной форме:

x(kT T ) Ax(kT ) Bu(kT ),

(7.1)

y(kT ) Cx(kT ).

Здесь T – шаг квантования, kT – текущий момент времени; x Rn –

вектор состояния, u Rm – вектор управляющих воздействий, n – порядок объекта; n m ; A – квадратная матрица действительных коэффициентов; B, C – прямоугольные матрицы действительных коэффи-

циентов, y Rm – выходные переменные системы.

Разностные уравнения связывают переменные состояния системы, управление и выход только в фиксированные моменты времени. Часто в записи разностного уравнения величину T опускают (так как она задана и неизменна), тогда уравнения выглядят так:

x(k 1) Ax(k) Bu(k),

(7.2)

y(k) Cx(k).

Эту форму называют основной формой записи разностного уравнения или системой разностных уравнений в матричной форме.

К формам (7.1) и (7.2) нужно приводить уравнения движения реальных импульсных систем (рис. 7.1) с непрерывным объектом.

Рассмотрим подробно процедуру вывода разностных уравнений и с этой целью представим векторно-матричное описание линейного непрерывного многоканального объекта на языке дифференциальных уравнений:

x(t) Ax(t) Bu(t),

(7.3)

y(t) Cx(t).

С помощью понятия переходной матрицы, при известных начальных условиях x(0), можно записать решение дифференциального урав-

нения (7.3):

t

x(t) eAt x(0) eA(t )Bu( )d .

0

Найдем значение вектора состояния при t = T:

T

x(T ) eAT x(0) eA(T )Bu( )d .

0

Так как значение u фиксировано в течение кванта Т, то

x(T ) eAT x(0) A 1 eAT I Bu(0) .

Используя найденное значение x(T) в качестве начальных условий, на основании последнего выражения можно найти значение вектора состояния на следующем шаге x(2T) и так далее. В итоге для произвольного момента времени получаем

x(kT T ) Ax(kT ) Bu(kT ), y(kT ) Cx(kT ),

где A eAT , B A 1(e AT I )B, C C.

Воспользуемся теперь разложением экспоненты в ряд Тейлора и получим соотношения, позволяющие вычислить искомые матрицы:

Количество членов ряда, необходимых для вычисления матриц A и B, определяется соотношением значений коэффициентов исходных матриц и шага квантования T, а также заданной точностью вычислений.

В практических расчетах иногда применяют и приближенный способ вывода разностных уравнений, основанный на аппроксимации производных.

Рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений:

x Ax Bu dxdt .

Заменим здесь дифференциалы конечными разностями

Будем считать, что шаг квантования T пренебрежимо мал по сравнению с темпом процессов в объекте. Тогда можно принять t T и

x x(k 1) x(k) , после чего в итоге получим x(k 1) x(k) TAx(k) TBu(k).

Если сравнить последнее уравнение с уже полученным результатом, то увидим, что это есть первое приближение к матрицам, представленным уравнениями (7.4).

ПРИМЕР 7.1

Выполнить переход от непрерывной модели, заданной в виде дифференциального уравнения

x(t) 2x(t) 3x(t) u(t) 2u(t) ,

к дискретной в виде разностного уравнения, методом конечных разностей при заданной величине шага дискретизации по времени T = 0,1 c.

Перейдем от дифференциалов к конечным разностям

подставим их в исходное дифференциальное уравнение:

при заданном значении шага дискретизации по времени T:

Приведем подобные и отнормируем последнее выражение, в итоге получим разностное уравнение

x(k 2) 1,8x(k 1) 0,83x(k) 0,1u(k 1) 0,08u(k) .

Порядок разностного уравнения совпадает с порядком исходного дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 7.2

Выполнить переход от непрерывной модели, заданной в виде дифференциального уравнения из примера 7.1, к разностному уравнению при том же шаге дискретизации по времени, используя матричную процедуру.

Запишем матрицы непрерывной модели, соответствующие дифференциальному уравнению:

Найдем матрицы дискретной модели в соответствии с выражениями (7.4), при этом ограничимся тремя членами ряда:

С помощью известной матрицы C и найденных матриц A, B можно перейти к разностному уравнению, аналогичному полученному в примере 7.1, результат следующий:

x(k 2) 1,7917x(k 1) 0,8188x(k) 0,0995u(k 1) 0,0814u(k ) .

Как видим, коэффициенты двух разностных уравнений достаточно близки, однако дискретная модель из примера 7.2 найдена с более высокой точностью.

Структурная схема модели ФФ представлена на рис. 7.8.

Аналогичный результат можно получить, используя преобразова-

0

где s = + j – оператор Лапласа.

Найдем преобразование Лапласа решетчатого управляющего воздействия:

Проделаем эту процедуру для ступенчатого управляющего воздействия:

WФФ (s)

Последнее равенство – это преобразование Лапласа для ступенчатого управляющего воздействия.