vostrikov

Условие проверяется с помощью критерия наблюдаемости, который приводится без доказательства [2, 7]. Объект (6.12) наблюдаем тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости

В случае одноканального объекта критерий наблюдаемости (6.19)

т. е. условие наблюдаемости также является условием разрешимости задачи синтеза.

В случае, когда r N n , т. е. объект (6.12) не полностью наблюдаем, существует невырожденное преобразование переменных

Здесь переменные z2 характеризуют ненаблюдаемую часть объекта

(рис. 6.6).

A22

Рис. 6.6. Структурная схема не полностью наблюдаемого объекта

На схеме пунктиром выделена ненаблюдаемая часть. Если она неустойчива, то стабилизировать объект нельзя. Следовательно, в этом случае условие разрешимости задачи синтеза – устойчивость нена-

блюдаемой части объекта.

ПРИМЕР 6.3

Проверить наблюдаемость объекта управления «каретка–маятник», схематичная модель которого изображена на рис. 2.3. В примере 2.5 получены матрицы объекта в виде

6.3.5. О «ВЫРОЖДЕНИИ» ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

При получении передаточных функций реальных систем в числителе и знаменателе могут появиться одинаковые или близкие сомножители, например,

После сокращения этих сомножителей получим вырожденную передаточную функцию

W ( p) B( p) .

A( p)

Система будет работоспособной только в том случае, если выполняется условие разрешимости: общие сомножители числителя и знаменателя имеют корни с отрицательной вещественной частью

ПРИМЕР 6.4

Покажем, к чему приведет несоблюдение условия (6.23) для объекта, который состоит из трех параллельных каналов (рис. 6.7).

Рис. 6.7. Структурная интерпретация условия разрешимости

Определим для него передаточную функцию

При неустойчивой неуправляемой или ненаблюдаемой части объекта замкнутая система окажется неработоспособной.

Данный пример иллюстрирует одну особенность одноканальных систем. Если ее поведение описывается передаточной функцией, то наличие неуправляемой или ненаблюдаемой части проявляется одинаково – в виде сокращаемых множителей в числителе и знаменателе.

В расчетной практике приведенные ранговые критерии разумно применять при проверке адекватности математической модели объекта его реальному поведению.

6.4.ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД СИНТЕЗА

6.4.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Будем рассматривать объект управления, поведение которого описывает передаточная функция W0 ( p) , а выходная переменная измеряется с помехой H (t) (см. рис. 6.2). Влияние окружающей среды отражает возмущение M (t) .

Требования к поведению замкнутой системы заданы в виде оценок переходного процесса, в качестве которых используются статическая

ошибка ( * ) , перерегулирование ( ) и быстродействие (tп* ) . Необходимо определить передаточную функцию Wк ( p) регулятора

(корректирующего звена), включение которого в систему обеспечит в ней заданное качество работы.

Частотный метод синтеза предполагает использование асимптотических логарифмических амплитудных частотных характеристик, он применяется для расчета одноканальных систем, функционирующих в режиме слежения или отработки входного воздействия. Предполагается, что корректирующее звено (регулятор) находится на входе объекта. Расчетная структурная схема системы имеет вид, изображенный на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Расчетная структурная схема системы

Рассмотрим реакцию системы только на входное воздействие v, полагая возмущение и помеху равными нулю ( M 0, H 0 ), их влияние

учтем в дальнейшем. Определим сначала передаточную функцию разомкнутой системы

Как видим, передаточную функцию замкнутой системы однозначно определяет Wp ( p) .

Таким образом, если удастся сформировать определенную передаточную функцию или частотную характеристику для разомкнутой системы, то тем самым можно обеспечить требуемые свойства в замкнутой системе.

6.4.2. ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ НА СВОЙСТВА ЗАМКНУТОЙ

Рассмотрим подробнее связь между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой систем, для чего от передаточной функции (6.27) перейдем к частотной характеристике

Исследуем характеристику (6.29) в различных областях частот, как это принято в инженерной практике. Введем предварительно несколько определений.

Зоной низких частот будем называть область изменения вблизи нуля. В ней по условию статики выполняется соотношение

W0 (0) k0 ,

где k0 – коэффициент усиления объекта. Обычно k 1, поэтому для разомкнутой системы в соответствии с (6.29) получим

Областью высоких частот будем называть совокупность частот, намного превышающих полосу пропускания системы. Здесь справедливы соотношения

Под зоной средних частот будем понимать промежуток между зонами низких и высоких частот, где выполняются соотношения

Поскольку частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем связаны соотношением, аналогичным (6.28), с учетом (6.30) в области низких частот (НЧ) получим

т. е. частотная характеристика разомкнутой системы практически не влияет на аналогичную характеристику замкнутой системы.

В области высоких частот (ВЧ) с учетом (6.31) справедливо соотношение

1Wp ( j )

аследовательно, частотная характеристика разомкнутой системы также не влияет на свойства замкнутой.

Таким образом, наибольшее влияние разомкнутая система оказывает на свойства замкнутой в области средних частот (СЧ), где необходимо особенно тщательно формировать частотную характеристику

Wp ( j ) .

6.4.3. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЧАСТОТНОГО МЕТОДА СИНТЕЗА

На основе выражения (6.29) получим расчетные соотношения частотного метода синтеза. Если удается задать определенную частотную

характеристику разомкнутой системы Wp* ( j ) , то из (6.29) можно вы-

числить Wк ( j ) . Однако этот способ громоздок и не нашел практиче-

ского применения, но на его основе разработан удобный метод синтеза по ЛАЧХ. Запишем его расчетное соотношение, для чего частотную характеристику разомкнутой системы представим в форме

Wp ( j ) Aр ( )e j ( ).

В соответствии с (6.29) для амплитудных частотных характеристик справедливо равенство

Ap ( ) Aк ( )A0 ( ),

которое в логарифмическом масштабе принимает вид

Приравняв правую часть (6.33) L* ( p) , получим

L * ( ) Lк ( ) L0 ( ).

Отсюда следует расчетное соотношение для логарифмической характеристики регулятора, которое является основным в частотном методе синтеза

Таким образом, для расчета регулятора необходимо построить логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) объекта и на основе требований к качеству процессов в замкнутой системе сформировать ЛАЧХ разомкнутой системы. Затем следует определить ЛАЧХ регулятора в соответствии с выражением (6.34).

6.4.4. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ЛАЧХ ОБЪЕКТА

Часто модель объекта управления представляет собой последовательную цепочку типовых звеньев, поэтому L0 ( ) можно получить, суммируя отдельные ЛАЧХ. Подобное суммирование позволяет пред-

звенья, а r – число таких звеньев. Наклон характеристики будет равен 20 дБ/дек., если передаточная функция объекта содержит дифференцирующие звенья, l – число этих звеньев. Низкочастотная асимптота строится таким образом, чтобы она сама или ее продолжение проходи-

ли через точку 20 lg k0 .

• На частотах сопряжения происходит «излом» асимптотической ЛАЧХ объекта. Наклон ЛАЧХ изменяется на 20 дБ/дек., если соответствующая частоте сопряжения постоянная времени находится в знаменателе передаточной функции объекта, r – число таких звеньев. «Излом» асимптотической ЛАЧХ будет равен 20 дБ/дек., если постоянная времени находится в числителе передаточной функции, l – число звеньев. Новая асимптота проводится до следующей частоты сопряжения, где также происходит ее «излом» в соответствии с указанным правилом.

ПРИМЕР 6.5

Построить асимптотическую ЛАЧХ объекта, передаточная функция которого имеет вид

Риc. 6.9. Асимптотическая ЛАЧХ объекта для примера 6.5

Построение ЛАЧХ начинается из области низких частот, которая расположена левее первой частоты сопряжения. Низкочастотная асимптота имеет наклон – 20 дБ/дек., так как передаточная функция объекта содержит интегрирующее звено. Проводится она до частоты lg 1 так, чтобы ее

продолжение пересекало ось ординат в точке 20 lg k0 . На частоте lg 1 происходит «излом» характеристики на –20 дБ/дек., что соответствует апериодическому звену в составе W0 ( p) . До следующей частоты сопряжения ( lg 2 ) асимптота имеет наклон – 40 дБ/дек. «Излом» характеристи-

последней асимптоты ЛАЧХ объекта будет равен –60 дБ/дек.