vostrikov
.pdf
Задачи |
121 |
Обычно такая оценка используется на этапе проектирования, так как ее трудно связать с параметрами реальной системы автоматического управления (коэффициентом усиления, постоянными времени, коэффициентом демпфирования).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрели понятие устойчивости линейных систем, которое является одним из важнейших ее качественных свойств и обусловливает работоспособность системы автоматического управления.
Отметим, что устойчивость линейной системы определяется ее собственными свойствами и не зависит от внешних факторов, поэтому она будет предсказуемым образом реагировать на различные внешние воздействия и начальные условия. Для анализа устойчивости в зависимости от ситуации можно использовать различные критерии, описание которых приведено в разделе.
С целью нормального функционирования системы свойство устойчивости должно сохраняться при изменении ее параметров в некотором диапазоне, поэтому на этапе проектирования необходимо проверять наличие определенного запаса устойчивости системы. Приведены также cпособы их оценки.
ЗАДАЧИ
4.1. С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость системы, передаточная функция которой имеет вид
W ( p) p( p 1)(3 p 1) .
4.2. С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость системы
(рис. 4.31), если
W1 |
( p) |
|
1 |
|
, W2 |
( p) |
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
p |
|
2 |
p2 |
3p 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
122 |
|
|
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
|
|
v |
y |
||
|
|
|
Wp() |
Wp() |
|
|
|
||
|
1 |
2 |
||
Риc. 4.31. Структурная схема системы к задаче 4.2
4.3. С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость системы
(рис. 4.32), если k1 k2 |
1, k3 |
2, k4 |
5 , T1 |
1c, T2 0,5 c . |
||||||
v |
|
k1 |
|
|
k2 |
|
|
k3 |
y |
|
|
|
|
T1 p 1 |
|
T2 p |
1 |
p |
|
||
k4
Риc. 4.32. Структурная схема системы
кзадаче 4.3
4.4.С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость замкнутой системы, если уравнения состояния разомкнутой системы имеют вид
x1 x2 , x2 x3 ,
x3 3x2 5x3 10u,
yx1 2x2 .
4.5.С помощью критерия Гурвица проверить устойчивость системы
(рис. 4.33), если
1
W1( p) p 1 , W2 ( p)
2 |
|
, W ( p) |
4 |
. |
0,5 p 1 |
3 |
p |
||
|
||||
v |
y |
||
|
|
Wp() |
Wp() |
|
|
||
1 |
2 |
||
|
|
Wp() |
|
3 |
|
||
Риc. 4.33. Структурная схема системы к задаче 4.5
Задачи |
123 |
4.6. Используя критерий Михайлова, проверить устойчивость системы
x1 x2 ,
x2 x1 x3 ,
x3 2x1 3x2 5x3 u,
yx1.
4.7.Используя критерий Михайлова, проверить устойчивость системы с передаточной функцией
W ( p) |
|
10 |
|
. |
|
|
|
||
p3 |
3 p2 |
|
||
|
2 p 6 |
|||
4.8. С помощью критерия Михайлова проверить устойчивость системы (см. рис. 4.31), если
W ( p) |
10 |
, W ( p) |
|
1 |
|
. |
1 |
p |
2 |
2 p2 |
3 p |
1 |
|
|
|
|||||
4.9. С помощью критерия Михайлова проверить устойчивость системы (см. рис. 4.33), если
W1 |
( p) |
20 |
|
, W2 ( p) |
|
3 |
|
, W3 |
( p) |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0, 01p |
|
0,25 p2 |
|
|
0, 2 p 1 |
|||||||
|
|
1 |
|
0,5 p 1 |
|
|
||||||
4.10. С помощью критерия Михайлова проверить устойчивость системы (рис. 4.34).
v |
1 |
4 |
1 |
1 |
y |
|||||
|
|
|
p |
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||
Риc. 4.34. Структурная схема системы к задаче 4.10
124 |
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
4.11. Проверить устойчивость замкнутой системы с отрицательной обратной связью, используя критерий Найквиста, если передаточная функция разомкнутой имеет вид
Wр ( p) |
2( p |
1) |
. |
|
|
|
|||
p(0,1p2 |
0,1p 1) |
|||
|
|
4.12. С помощью критерия Найквиста проверить устойчивость системы (см. рис. 4.31), если
W1 |
( p) |
15 |
|
, W2 ( p) |
|
2 |
|
. |
4 p |
|
3p2 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
p 1 |
||||
4.13. С помощью критерия Найквиста проверить устойчивость системы (рис. 4.35).
V |
|
10 |
|
|
|
|
1 y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
2p 1 |
||
10 p 1
Риc. 4.35. Структурная схема системы
кзадаче 4.13
4.14.С помощью критерия Найквиста проверить устойчивость
системы (рис. 4.36) при k |
4, T 1 . |
|
|
||||||
V |
1 |
|
|
|
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
p 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p 1 |
Tp 1 |
||||
Риc. 4.36. Структурная схема системы к задаче 4.14
Задачи |
125 |
4.15. Проверить устойчивость замкнутой системы с помощью логарифмического критерия Найквиста, если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
Wраз ( p) |
12( p |
1) |
. |
|
|
|
|||
p(4 p2 |
2 p 1) |
|||
|
|
4.16. С помощью критерия Гурвица определить значение Tгр для системы (см. рис. 4.31), если
W1 |
( p) |
1 |
|
, W2 ( p) |
|
2,5 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
Tp |
|
0,5 p2 |
0,2 p 1 |
|||||
|
|
1 |
|
|||||
4.17. С помощью критерия Гурвица определить область допустимых значений коэффициента k для системы (см. рис. 4.33), где
W1 |
( p) |
k |
|
, W2 ( p) |
|
|
|||
5 p |
|
|||
|
|
1 |
||
10 |
|
, W3 |
( p) |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|||
2 p 1 |
0,1p |
|
||||
|
|
1 |
||||
4.18. С помощью критерия Михайлова определить значение dгр для системы (см. рис. 4.31), если
W1 |
( p) |
15 |
|
, W2 ( p) |
2 |
|
. |
|
|
|
|
||||
2 p |
|
0,25 p2 |
|
||||
|
|
1 |
dp 1 |
||||
4.19. С помощью критерия Михайлова определить область допустимых значений коэффициента k для системы (см. рис. 4.33), где
2
W1( p) 0,1p 1 , W2 ( p)
k |
, W3 |
( p) |
1 |
|
. |
||
|
|
|
|
||||
0, 2 p 1 |
0,01p 1 |
||||||
|
|
|
|||||
4.20. С помощью критерия Найквиста определить значение Tгр для системы (см. рис. 4.31), если
W1 |
( p) |
5 |
|
, W2 ( p) |
1 |
. |
|
|
|
||||
Tp |
|
p(4 p 1) |
||||
|
|
1 |
|
|||
126 |
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
4.21. С помощью критерия Найквиста определить область допустимых значений коэффициента k для системы (см. рис. 4.33), где
k
W1( p) 3 p 1 , W2 ( p)
10 |
|
, W3 |
( p) |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
2 p 1 |
0, 4 p 1 |
||||||
|
|
|
|||||
4.22. Определить область допустимых значений общего коэффициента усиления k для системы фазовой автоподстройки частоты, упрощенная структурная схема которой приведена на рис. 4.23.
Г л а в а 5
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Работа системы автоматического управления помимо устойчивости оценивается рядом показателей, основными из которых
являются точность отработки входных воздействий и характер переходных процессов.
В общем случае задача анализа формулируется следующим образом: при известной структуре системы, заданной передаточной функ-
цией W ( p), или матрицами A, B, C , или какой-либо динамической
характеристикой, и известном входном воздействии v необходимо оценить переходные процессы на выходе, т. е. определить y(t) .
При известной математической модели и начальных условиях
x |
Ax Bu, |
x Rn , u Rm , |
|
||
y |
Cx, |
y |
Rm , |
(5.1) |
|
x(0) |
x 0, |
n |
m |
|
|
можно рассчитать переходные процессы, используя соотношение |
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
y(t) |
CeAt x |
C eA(t |
)Bu( )d . |
(5.2) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Здесь первое слагаемое представляет собой реакцию на начальные условия, второе – на входное воздействие.
Заметим, для системы высокого порядка неудобно вычислять y(t)
по выражению (5.2), еще сложнее оценивать влияние отдельных параметров на вид переходных процессов.
128 |
Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
Поскольку в реальных системах закон изменения действующих на объект возмущений заранее, как правило, неизвестен, рассматривают реакцию системы управления на некоторые типовые воздействия, близкие к реальным. Относительно «тяжелым» для отработки является единичное ступенчатое воздействие, и если удается обеспечить определенное качество работы системы при подобном входном сигнале, то она будет удовлетворительно работать и при других воздействиях.
О качестве работы динамической системы можно судить по косвенным признакам, которые называются показателями качества переходного процесса и определяются без непосредственного расчета переходного процесса. При этом всегда предполагается, что исследуемая система устойчива, так как бессмысленно оценивать качество неустойчивых процессов.
Различные способы анализа показателей качества переходного процесса представлены в данной главе.
5.1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим одноканальную систему стабилизации, для которой
входное воздействие является постоянной величиной ( v |
const ), а |
цель регулирования состоит в организации свойства |
|
lim y(t) v. |
(5.3) |
t |
|
Основными показателями качества таких систем являются следующие количественные характеристики переходного процесса.
5.1.1. ОШИБКА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для оценки точности используется ошибка регулирования
(t) v y(t), |
(5.4) |
которая с течением времени стремится к некоторому постоянному значению (рис. 5.1), называемому статической ошибкой:
0 |
lim (t). |
(5.5) |
|
t
5.1. Показатели качества переходных процессов |
129 |
yy 
vv
(t)
(t)(t)
tt
ttt
Рис. 5.1. Пример изменения ошибки во времени
При известной структурной схеме системы ошибку можно определить в операторной форме с помощью структурных преобразований
( p) v( p) y( p). |
(5.6) |
В этом случае статический режим характеризуется тем, что p 0 , а статическая ошибка находится по выражению
0 |
(0). |
(5.7) |
|
Динамической ошибкой будем называть величину
d (t) |
(t) |
0 , |
(5.8) |
причем lim |
d (t) 0. |
t |
|
Отметим, что ошибка (статическая ошибка) является одной из основных количественных характеристик процессов системы.
5.1.2.БЫСТРОДЕЙСТВИЕ
Вкачестве оценок быстродействия можно использовать различные величины, причем все они определяют время от начала процесса до какого-либо характерного значения. С этой целью рассмотрим пере-
ходную характеристику системы h(t) , показанную на рис. 5.2.
130 |
Глава 5. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ |
h 
h(
) 
t1 |
t2 |
t3 |
t |
Рис. 5.2. Иллюстрация оценок быстродействия
Оценками быстродействия могут служить:
•t1 – время от начала процесса до первого момента достижения установившегося значения h( ) (применимо только для колебательных процессов);
•t2 – время достижения первого максимума (также только для
колебательных процессов);
• t3 – время от начала процесса до момента достижения устано-
вившегося значения h( ) со статической ошибкой 0 , не превы-
шающей заданного значения.
На практике в качестве оценки быстродействия чаще всего используют величину t3 , которую обычно обозначают tп и называют време-
нем переходного процесса.
5.1.3. ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЕ
Эта количественная оценка характеризует колебательные свойства системы, обозначается буквой и определяется в процентах относительно установившегося значения (рис. 5.3) по выражению
hmax |
h( ) |
100 %. |
(5.9) |
|
h( |
) |
|||
|
|