vostrikov

Для построения ЛАЧХ объекта с произвольной передаточной функцией

B( p) W0 ( p) A( p) .

следует перейти к выражению для частотной характеристики

B( j )

W0 ( j ) A( j ) .

Амплитудно-частотная характеристика определяется так:

что позволяет вычислить

Таким образом, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика объекта находится как разность (6.35).

6.4.5. ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ ЛАЧХ

Поскольку желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика L * ( ) строится на основе требований к качеству работы

замкнутой системы в статике и динамике, рассмотрим эти режимы отдельно.

Так как в основном статическую ошибку в системе (см. рис. 6.9) порождает возмущающее воздействие (см. главу 5), то необходимо обеспечить выполнение условия

ческая ошибка в системе от возмущения.

Известно, что на величину статической ошибки влияет общий коэффициент усиления kр , который равен произведению коэффициентов

усиления объекта и регулятора kp k0 kk . В случае статической сис-

1

M1 k0 kk M .

Сучетом требования (6.36) расчетное соотношение для kp принимает вид 0

Для астатических систем, работающих в режиме линейной заводки, коэффициент усиления kр можно определить на основе выражения

(5.19).

При синтезе систем частотным методом ЛАЧХ объекта и ЛАЧХ разомкнутой системы удобно «выровнять» по коэффициенту и строить

L0 ( ) с коэффициентом усиления kр . Таким образом, требование по

статике учитывается на этапе построения логарифмической характеристики объекта.

Обсудим теперь построение желаемой ЛАЧХ разомкнутой системы, которую будем выбирать из условий требуемой

динамики замкнутой системы. Так как

наибольшее влияние на свойства замкну-

той системы разомкнутая оказывает в об-

ласти средних частот (см. подразд. 6.4.2), построение желаемой характеристики начинается именно в этой области частот

(рис. 6.10).

Опытным путем установлено, что для обеспечения заданных динамических свойств наклон среднечастотной асимптоты L* ( ) следует выбирать равным –20 дБ/дек., причем ось абсцисс она пересекает в точке lg ср . Частота среза ср в данном методе играет роль гранич-

ной частоты полосы пропускания, при этом значение АЧХ системы становится равным единице.

нию замкнутой системы, а соотношение между tn* и ср устанавлива-

ют номограммы, приводимые в справочной литературе [6, 39, 40]. Для предварительных расчетов можно пользоваться выражением

где k (2 4) и зависит от величины заданного перерегулирования.

Длина среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ ограничивается запасом устойчивости по модулю L , который откладывается вверх и вниз по оси ординат. В свою очередь L находится по номограммам в

зависимости от требуемого перерегулирования .

Приближенно длина среднечастотного участка l (1...1,5) декады, причем вправо и влево от lg ср длина асимптоты составляет 0,5l .

Вэтом случае в системе будет обеспечено перерегулирование

(20 30) % .

Далее переходим к построению желаемой характеристики в области высоких и низких частот. Поскольку L0 ( ) строится с учетом рассчитанного из условий статики коэффициента усиления kр , для требуемой

статической ошибки следует обеспечить совпадение в области низких частот L*( ) с ЛАЧХ объекта. В области высоких частот эти две ха-

рактеристики могут совпадать или быть параллельными. Далее среднечастотная часть совмещается с низкочастотной и высокочастотной асимптотами желаемой ЛАЧХ. Наклон ЛАЧХ на участках сопряжения должен быть кратным 20 дБ/дек., их следует проводить так, чтобы по-

лучить наиболее простую характеристику Lк ( ) .

6.4.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ РЕГУЛЯТОРА

Асимптотическую ЛАЧХ регулятора найдем графически в соответствии с основным соотношением частотного метода синтеза (6.34) в виде

По полученной характеристике определим частоты сопряжения, где происходит излом Lк ( ) , и соответствующие им значения постоянных

времени. Передаточная функция Wк ( p) определяется на основе про-

цедуры, обратной по отношению к правилу построения ЛАЧХ объекта. Причем в окончательную передаточную функцию регулятора следует

добавить коэффициент усиления kк kp k0 , рассчитанный по услови-

ям статики, т. е. Wк ( p) kкWк ( p) .

Реализовать полученную передаточную функцию можно на пассивных или активных элементах. В последнем случае удобно воспользоваться рекомендациями разд. 3.6 по переходу от передаточной функции к структурным схемам, соответствующим каноническому представлению. Отметим, что в этом методе синтеза для реализации регулятора можно использовать любой из вариантов структурных схем.

ПРИМЕР 6.6

Для системы, приведенной на рис. 6.8, с передаточной функцией объекта

и построенной по заданным требованиям к динамике и статике логарифмической характеристикой L * ( ) (рис. 6.11), необходимо определить пе-

редаточную функцию регулятора.

Предварительно графически найдем Lк ( ) как разность между желае-

20 lg k0

20lg k

L* ( )

LK (ω)

Рис. 6.11. Иллюстрация частотного метода синтеза

Схематично полученную передаточную функцию можно представить в виде цепочки последовательно соединенных интеграторов с прямыми и обратными связями, используя приемы, описанные в разд. 3.6. Такое представление позволяет легко перейти к реализации корректирующего звена на активных элементах.

6.4.7. ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ И ПОМЕХИ ИЗМЕРЕНИЯ НА СВОЙСТВА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Обсудим теперь влияние возмущения и помехозащищенность системы (рис. 6.12), рассчитанной частотным методом, для чего вернемся к ее исходной структуре (см. рис. 6.8).

h

Рис. 6.12. Расчетная структурная схема системы для частотного метода синтеза

Рассмотрим сначала случай, когда помеха измерения пренебрежимо мала ( H 0 ). Запишем выражение для выходной переменной системы

Всоответствии с постановкой задачи синтеза необходимо, чтобы выходная переменная y повторяла входной сигнал v независимо от влияния возмущения M. Обсудим, как система справляется с этой задачей, для чего исследуем ее поведение на различных частотах.

Вобласти низких частот в соответствии с (6.30) справедливо условие

на низких частотах достаточно хорошо выполняет свою функцию. Вблизи частоты среза (в области средних частот) согласно (6.32)

справедливо соотношение Wк ( j )W0 ( j ) 1, а составляющие выхода следующие: y 0,5v и yM 0,5M. Очевидно, что в такой ситуации

система плохо воспроизводит вход и плохо подавляет возмущение, т. е. работает «частично».

В области высоких частот для частотных характеристик справедливо соотношение (6.31), поэтому вместо выражения (6.39) получим yv 0 и yM M . Как видим, в этом случае система не справляется с

поставленной задачей.

Следовательно, чем шире полоса пропускания (чем больше ср ),

тем лучше в условиях действия возмущений система выполняет свое назначение. При построении желаемой логарифмической характеристики разомкнутой системы необходимо учитывать этот факт и стре-

миться по возможности увеличивать ср .

Обсудим теперь влияние помехи H, полагая входное воздействие v и возмущение М равными нулю. Поскольку объект, как правило, имеет ограниченную полосу пропускания и в этом случае выступает в роли фильтра, высокочастотная помеха не будет проходить на выход системы. В основном помеха влияет на управляющее воздействие, для которого операторное выражение имеет вид

Рассмотрим соответствующую частотную характеристику и запишем приближенные выражения для управления (6.40) на различных частотах.

Как видим, влияние помехи будет тем меньше, чем больше коэффициент усиления объекта.

Для области средних частот справедливо условие Wк ( j )W0 ( j ) 1, при этом

u 0,5 H ,

т. е. влияние помехи повышается по сравнению с предыдущим случаем. В области высоких частот при выполнении соотношения (6.31) составляющую управления, порожденную помехой, приближенно можно

оценить:

u Wк ( j )H .

Таким образом, в этом случае влияние помехи почти полностью определяется свойствами корректирующего звена.

Следовательно, для уменьшения влияния помехи на низких и средних частотах нужно применять «качественный» датчик, а на высоких частотах помеху можно подавить путем использования регулятора, обладающего интегрирующими свойствами. Подобный эффект будет наблюдаться, если степень полинома числителя передаточной функции

Wк ( p) меньше степени полинома ее знаменателя. В случае, когда степени полиномов Aк ( p) и Bк ( p) равны, в регулятор рекомендуется добавить апериодическое звено с малой постоянной времени.

6.4.8. ПРОЦЕДУРА СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРА ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ

Обобщая рассмотренные этапы частотного метода синтеза, можно предложить следующую процедуру расчета регулятора.

1. Определяется коэффициент усиления разомкнутой системы kр

затем вычисляется коэффициент усиления регулятора (корректирующего звена) kк kp k0 .

2. Строится асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика объекта с учетом рассчитанного коэффициента

пп. 3–5.

7. Для уменьшения влияния помехи измерения к рассчитанной передаточной функции Wк ( p) корректирующего звена добавляется пе-

редаточная функция апериодического звена с малой постоянной времени.

8. Предлагается схемная реализация регулятора на активных или пассивных элементах.

6.4.9. О ВЛИЯНИИ СОКРАЩАЕМЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ

Здесь мы вернемся к обсуждению эффектов, к которым может привести пренебрежение одинаковыми или близкими по численным значениям сомножителями в числителе и знаменателе передаточной функции разомкнутой системы. В подразд. 6.3.5 была рассмотрена связь этого факта со свойствами управляемости и наблюдаемости. Обсудим теперь возможные последствия такого пренебрежения в процедуре частотного метода.

Пусть снова передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (6.22). При построении ЛАЧХ «близкие» сомножители практически не изменят вид характеристик и, следовательно, вид переходных процессов при отработке задающих воздействий с нулевыми начальными условиями. Однако в замкнутой системе эти сомножители соответствуют определенной группе корней, что следует из характеристического уравнения

A( p) D( p) B( p) D( p) [ A( p) B( p)] D( p) 0 .

Как видно, уравнение D( p) 0 порождает свои составляющие

движения при соответствующих начальных условиях, что требует отдельного анализа корней этого уравнения. Они должны соответствовать принятому для системы запасу устойчивости. Реальная система отрабатывает и задающие воздействия и случайные возмущения, и конструктор должен гарантировать успешную работу при всех возможных режимах.

ПРИМЕР 6.7

Для следящей системы управления одним из звеньев руки робота из примера 5.2 (рис. 6.13) рассчитать регулятор, который обеспечивал бы

Рис. 6.13. Структурная схема системы управления одним из звеньев руки робота