vostrikov

Режимом слежения за входом будем называть процесс отработки

цессу также будет соответствовать вторая составляющая (6.2).

Режимом отработки возмущений будем называть процессы, вы-

званные в системе возмущением M (t) при фиксированных начальных

условиях и v const . Третья составляющая (6.2) отражает процесс отработки возмущения.

Выбор метода синтеза обусловлен режимом работы системы, причем требования к качеству процессов задаются в определенной форме на основе стандартных оценок: быстродействия, перерегулирования и статической ошибки.

При отработке входа для описания процессов обычно используются следующие динамические характеристики: h(t), g(t), W ( p), W ( j ) ,

которым соответствуют определенные методы синтеза. К настоящему времени наиболее полно разработан частотный метод, основанный на логарифмических частотных характеристиках L( ) и ( ) . Если рас-

сматривается режим отработки начальных условий и возмущений, то лучше применять модальный метод синтеза.

6.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОДНОКАНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Обсудим содержание задачи синтеза для одноканального объекта, представленного на рис. 6.2, где пунктиром выделен датчик. Поведение объекта описывает передаточная функция

жающей среды отражает возмущающее воздействие M (t) , а выходная

переменная измеряется датчиком (первичным измерительным преобразователем, сенсором) с помехой измерения H (t), так что

y y H (t),

где y – измеренное значение выходной переменой у.

Hh

yy

Рис. 6.2. Структурная схема одноканального объекта

Целью функционирования замкнутой системы регулирования явля-

Наряду с условием статики (6.4) предъявляются требования и к динамике системы, т. е. характеру переходных процессов. Обычно они задаются в виде следующих оценок:

выполнение которых представляет собой основную сложность расчета. Необходимо определить структуру и параметры регулятора, обеспечивающего выполнение требований (6.4) и (6.5) в условиях действия

возмущений и помех измерения.

Заметим, что переменной, которую можно использовать для организации управляющего воздействия в системе, является полученная с помощью датчика оценка выходной величины y . Поэтому в лучшем

случае в системе с заданной точностью можно обеспечить выполнение свойства

lim y(t) v,

t

а не условия (6.4). Для уменьшения влияния помехи при выборе измерительного устройства следует придерживаться рекомендаций:

•датчик должен обладать значительно большей точностью, чем требуемая точность системы в целом;

•нужно отфильтровывать помеху, частотный состав которой отличается от рабочих частот системы.

Всоответствии с принципом суперпозиции ошибка регулирования

взамкнутой системе будет представлять собой сумму трех составляющих

v y v H M .

Одна из них ( v ), порожденная входным воздействием, может

быть легко скомпенсирована масштабированием (см. разд. 3). Поскольку помеха измерения H (t) обычно представляет собой высоко-

частотный сигнал, ее наибольшее влияние проявляется в динамике. Следовательно, рассчитывать регулятор необходимо таким образом,

чтобы в системе управления статическая ошибка, порожденная возму-

6.3. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА

Прежде чем выбирать подходящий метод расчета, необходимо убедиться в том, что задача синтеза будет разрешима. С этой целью необходимо исследовать свойства объекта управления и требования, которые предъявляются к качеству работы замкнутой системы. На их основе можно сформировать желаемую передаточную функцию

и определить условия разрешимости задачи синтеза.

6.3.1. РЕСУРСНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ

Рассмотрим объект управления (6.3), полагая, что помеху измерения удалось исключить. В этом случае его операторное уравнение имеет вид

166 Глава 6. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Желаемое уравнение для замкнутой системы, соответствующее (6.6), запишем как

Если удастся реализовать закон управления (6.9), то поведение замкнутой системы будет точно соответствовать желаемой передаточной функции (6.6).

Поскольку для реального объекта ресурс управления всегда ограничен, задача синтеза будет разрешима при выполнении первого условия

которое и называется ресурсным ограничением.

К сожалению, на практике реализовать управление (6.9) невозможно, так как закон изменения возмущения M (t) неизвестен, кроме гра-

ниц его изменения, которые и следует подставить для проверки в соотношение (6.10).

6.3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ «ОБРАТНОГО» ОБЪЕКТА

Это условие также предполагает исследование свойств объекта. Изобразим структурную схему, соответствующую выражению для «точного» управляющего воздействия (6.9). Как видим из рис. 6.3, «точный» регулятор включает в себя желаемую передаточную функцию системы и обратную модель объекта. Поскольку W*( p) всегда

имеет полюса с отрицательной вещественной частью, то устойчивость «точного» регулятора определяется устойчивостью обратной модели объекта.

Отсюда следует второе условие разрешимости: задача синтеза будет иметь точное решение, если обратная модель объекта (6.3) W0 1( p) устойчива, что соответствует требованию

Рис. 6.3. Структурная интерпретация «точного» управления

Для разрешимости задачи синтеза необходимо, чтобы все «нули» передаточной функции объекта (корни полинома B( p) ) располагались

в левой полуплоскости плоскости корней.

ПРИМЕР 6.1

Рассмотрим проявление этого условия (рис. 6.4). На рисунке k – коэф-

Рис. 6.4. Структурная схема системы к примеру 6.1

Запишем характеристическое уравнение системы

A( p) kB( p) 0 .

Для уменьшения статической ошибки будем увеличивать коэффициент усиления регулятора. В пределе при k получим вырожденную систему, характеристическое уравнение которой принимает вид

B( p) 0,

и ее устойчивость определяют «нули» передаточной функции объекта. Такое «вырождение» справедливо, однако, при конечных, хотя и как угодно больших, значениях оператора p , и при полном исследовании характери-

стического уравнения нужно учитывать и «быстрые» корни.

Таким образом, (6.11) является необходимым условием устойчивости вырожденной системы и одновременно условием разрешимости задачи синтеза. Понятно, что для устойчивости замкнутой системы нужно анализировать все корни исходного характеристического уравнения.

6.3.3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ

Понятие управляемости используется при проверке условий разрешимости задачи синтеза для линейных систем, поведение которых описывают уравнения состояния.

Рассмотрим условие управляемости для общего класса объектов вида

Объект (6.12) называется управляемым, если существует ограниченное управляющее воздействие u(t), с помощью которого можно

перевести его из начального состояния x(0) в заданное конечное x(T )

за конечное время T.

Проверяется это условие с помощью критерия управляемости, его формулировку приведем без доказательства [2, 7]. Объект (6.12) будет управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемости

имеет полный ранг.

Так как матрица U имеет n строк и n m столбцов, то критерий управляемости записывается в виде

Определить, имеет ли матрица полный ранг, можно по соотношению

которое легко проверить, например, с помощью пакета Matlab.

В случае одноканального объекта (когда m 1) матрица управляемости будет квадратной и критерий (6.14) принимает форму

Отметим, что задача синтеза будет иметь решение, если объект управляем, т.е. условие управляемости является условием разрешимости задачи синтеза.

Однако невыполнение условия (6.14) еще не означает, что такой

(6.12) не полностью управляем, с помощью специального невырожденного преобразования переменных

z M1x, det M1 0

его описание можно привести к канонической форме

Здесь переменные z2 характеризуют автономную часть объекта, назы-

ваемую неуправляемой. Структурная схема такого объекта показана на рис. 6.5. Пунктиром выделена неуправляемая часть объекта, процессы в которой развиваются в силу собственных свойств. Изменить их с помощью управления невозможно, однако переменные z2 влияют на

управляемую часть и выходные переменные y. Если неуправляемая часть будет неустойчива, то и весь объект будет не только неустойчивым, но и нестабилизируемым.

A12

1 z2 C2 p

A22

Рис. 6.5. Структурная схема не полностью управляемого объекта

Таким образом, для не полностью управляемого объекта условием разрешимости задачи синтеза является требование устойчивости не-

управляемой части.

ПРИМЕР 6.2

Проверить управляемость объекта, поведение которого описывает следующая система дифференциальных уравнений:

6.3.4. НАБЛЮДАЕМОСТЬ

Это понятие отражает возможность оценки переменных состояния объекта (6.12) по результатам измерения выходных переменных.

Объект называется наблюдаемым, если в любой момент времени можно оценить состояние x по данным измерения выходных переменных y(t) и управляющих воздействий u(t) .