14 Туынды. Туынды түрлері. Туындның геометриялық мағынасы.

жиынында анықталған функциясы берілсін, ал жиынының шектік нүктесі болсын. Егер

(1)

шегі бар болса, онда бұл функциясының нүктесіндегі туындысы деп аталады және арқылы белгіленеді. Функция туындысын есептеу амалы дифференциалдау деп аталады. Сонымен,

(2)

Бұл теңдікті тәуелсіз айнымалы өсімшесі мен функция өсімшелері арқылы былай да

жазуға болады.

Сөйтіп, (1) нақты мәнді шек бар болса, онда функциясының нүктесінде туындысы бар деп, ал оның (2) мәнін функциясының нүктесіндегі туындысы деп айтады екенбіз. Егер функцияның нүктесіндегі өсімшесі мына

(3)

түрде өрнектелетін аргументтің өсімшесі арқылы сызықты функциясы табылса, онда функциясы нүктесінде дифференциалданады деп аталады. Басқаша айтқанда, егер зерттелетін нүкте маңайында функция мәндерінің өзгеруі шамасымен салыстырғанда шексіз аз дәлдігіне дейін сызықты болса, онда функция нүктесінде дифференциалданады екен. Міне (3) теңдіктегі функциясын функциясының нүктесіндегі дифференциалы деп атайды.

Егер (2) теңдікті оған эквивалентті

немесе

(4)

түрінде жазсақ, онда функцияның дифференциалдануы оның сол нүктеде туындысының бар болуымен тең мағыналы екенін көреміз. Бұдан, егер функциясы Е жиынының әртүрлі нүктелерінде дифференциалданса, онда (3) теңдіктен әртүрлі нүктелерде шамасы мен 0() шамаларының да өзгеретінін көреміз. Сондықтан бұл жағдайда функция дифференциалдану анықтамасын былай айтуға болады:

жиынында берілген функциясы жиынының шектік нүктесі болатын нүктесінде дифференциалданады деп аталады, егер

(5)

түрінде өрнектелсе. Мұндағы функциясы арқылы сызықты, ал . Осы арқылы сызықтық функциясын функциясының нүктесіндегі дифференциалы деп атайды және немесе символдары арқылы белгілейді, яғни .

Туындының геометриялық мағынасы. Айталық функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын, яғни оның туындысы бар болсын. функциясының және нүктелері арқылы өтетін қиюшысының теңдеуі (1- суретті қараңыз).

(1) Егер мұнда ұмтылдырсақ, қиюшының бұрыштық еселеуіші туындыға ұмтылады. Сондықтан қиюшының шектік түзуі

(2)

теңдеуі арқылы анықталады.

1- сурет

Бұл формулаларды былай талқылауға болады: нүктесі нүктесіне жақындаған сайын функциясының графигінің нүктесі нүктесіне жақындай түседі, ал (1) түзу-қисық қиюшысы (2) түзуге «жақындайң түседі. (2) түзу функциясының графигіне нүктесіндегі жанамасы деп аталады. Ал (2) жанаманың бұрыштық еселеуіші, яғни жанама мен өсінің арасындағы бұрышының тангенсі . Сонымен, функциясының нүктесіндегі туындысы функциясының графигіне нүктесі арқылы өтетін жанаманың бұрыштық еселеуішін анықтайды.

Бірінші параграфта функциясының туындысы ұғымын шекті белгілейтін символдар арқылы былай

жазуға болатынын көрдік. Мұнда шек алынатын қатынас мағынасын жоғалтпауы тиіс, яғни олардың бөлімдері нөлге тең болмауы керек. Мысалы, анықтылық үшін өрнегін қарастырайық. Бұл өрнек айнымалысының өрнегі ретінде қарастырылып, оның нөлге ұмтылғандағы шегі ізделінеді. Жалпы бұл өрнектің нөл нүктесінде анықталған болуы міндетті емес.

Егер жоғарыдағы шектерді оң жақты және сол жақты шектермен ауыстырсақ, онда функциясының нүктесіндегі сәйкес оң жақты және сол жақты туындыларының анықтамаларына келеміз:

Егер оң жақты және сол жақты туындылары бар әрі болса, онда туындысының да бар екені айқын және .

Мысалы, функциясының нөл нүктесінде оң жақты және сол жақты туындылары бар, бірақ олар өзара тең емес. Шынында да, кез-келген үшін

Ал болғандықтан, туындысы жоқ.

Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз, ал болса, онда функциясының нүктесіндегі туындысы ақырсыз деп, арқылы жазады. Біз келешекте функцияның туындысы бар деп оның тек ақырлы туындысы бар жағдайын ғана түсінетін боламыз.

Жоғарыдағы анықтамалардан туындының төңіректік ұғым екенін көреміз. Сондықтан функцияның жиында дифференциалдануы, оның барлық нүктелерінде дифференциалдануы арқылы анықталады, яғни функциясының жиынының барлық нүктелерінде үзіліссіз туындысы бар болса, онда оны жиынында дифференциалданады деп айтады да, арқылы белгілейді. Ал функциясының жиынында дифференциалданбауы функциясының жиынының ең болмағанда бір нүктесінде дифференциалданбауымен бара-бар.

Бірде-бір нүктеде туындысы болмайтын функциялар бар. Мысалы, Дирихле функциясының бірде бір нүктеде туындысы жоқ, ал әрбір нүктеде туындысы бар функция үзіліссіз екені кейін дәлелденеді. Сонымен бірге тек бір ғана нүктеде туындысы бар функциялар бар.

Мысалы,

функциясының тек бір ғана нүктесінде туындысы бар, өйткені нүктелерде бұл функция үзілісті, бірақ егер -рационал болса , егер -иррационал болса

,

демек, туындысы бар.

Тек бір ғана нүктеде туындысы жоқ функция мысалы

функциясы. Бұл функция бүкіл сан түзуінде үзіліссіз, бірақ нүктесінде тіпті мұның оң жақ, сол жақ туындылары жоқ. Өйткені

шегі жоқ.

Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болғанымен, оның оң жақ, сол жақ туындылары болмауы мүмкін екен.

15.Қос-ны,көбе-ні ж.е бөлін-ні диф-дау.Th.Егер f:E→R ж.е g:E→R ф-ялары xϵE нүкт-де диф-са,онда бұл нүкт-де (f±g)(x),(f·g)(x),()(x),g(x)≠0 диф-ды ж.е а)(f(x)±g(x))'=f''(x)±g'(x); b)(f(x)·g(x))'=f''(x)g(x)+f(x)g'(x); c)()'= Д-уі: а) y=f(x)±g(x) б-са …

(f(x)±g(x))'=; b) (f(x)·g(x) б-са ж.е - (1) бұдан g(x+

(1)-ден көшсек y'=f''(x)g(x)+f(x)g'(x);c)y= б-са

көшсек y'= . ЕСК-ТУ: g(x)=c=const, c'=g'(x)==

16.Күр-лі ф-яны диф-дау.Кері ф-яны диф-дау.Th. f:E→R, g:F→R ф-ялары бер-ген.Егер f(x) ф-ясы х₀ϵЕ нүкт-де,ал g(y) ф-ясы y₀=f(x₀) нүкт-де дифф-са,онда h=g(f(x)) күрделі ф-ясы х₀ нүкт-де дифф-ды ж.е. h'(x₀)=g'(f(x₀)f'(x₀) - (1) Д-уі: f(x) ф-ясы x₀ нүкт-де диф-тын болғ. f(x)-f(x₀)=f'(x₀)·(x- x₀)+ (x- x₀), x→ x₀-(2). Ал g(y) ф-ясы y₀ нүкт-де диф-тын болғ. g(y)-g(y₀)=(g'(y₀)+ -g'(y₀))(y- y₀). y→ y₀ деп ж.е α(y- y₀)=-g'(y₀) ш.а.ш ф-ясын енгізіп, оны g(y)-g(y₀)=(g'(y₀)+α(y,y₀))(y-y₀)-(3). (3)-ші теңд-те }деп алсақ онда (2) б-ша g(f(x)-g(f(x₀))=g'(f(x₀)+α(f(x),f(x₀))·(f(x)-f(x₀)=g'(f(x)+α(f(x),f(x₀)· ·(f '(x₀)(x-x₀)+Ổ(x-x₀), x→ x₀ теңд-не кел-з. Бұдан x≠ x₀ деп (x-x₀)-ге бөлсек, '(f(x₀))+α(f(x),f(x₀))(f '(x₀)+… Енді x→x₀ деп шекке көшсек, h'(x₀)=g'(f(x₀)·f'(x₀)). Кері ф-яны. Егер Е жиын-да монот. ж.е үз-сіз f:E→R ф-ясы x₀ϵE нүкт-де диф-са ж.е f '(x₀)≠0 б-са онда оның x=g(y) кері ф-ясы y₀=f(x₀) нүкт-де диф-ды ж.е g'(y₀)= - (1).Д-уі. g(y) ф-ясы f(E)-да үз-сіз.Сонд. y→y₀ұмтылады.Ал } болғанда . Бұдан ₀ деп шекке көшсек g'(y₀)=.

17.Элем-тар ф-ялардың диф-лдануы.1)f(x)=. Д-уі:}[h→0] ==.2)f(x)=a^x

f '(x)=a^xlna. Д-уі:=lna}[h→0]=.

3)f(x)=log_ax f '(x)=. Д-уі:==

.4)f(x)=lnx f '(x)= Д-уі:

5)f(x)=sinx f '(x)=cosx. Д-уі:;

6)f(x)=cosx f '(x)=-sinx. Д-уі:.

7)f(x)=x^α f '(x)=αx^α-1. Д-уі(x^α)={u^v=e^vlnu}=(e^αlnx)'=e^αlnxα·.

8)(tgx)'=(

9)(ctgx)'=(==;

10)y=arcsinx ф-ясы хϵ(-1;1) x=siny yϵ[--ясына кері ф-я.Кері ф-яны диф-дау th б-ша (arcsinx)'=

11) y=arccosx xϵ(-1;1) ф-ясы x=cosy yϵ[0,π] ф-ясына кері ф-я. (arccosx)'=;

12)y=arctgx x=tgx yϵ(-

13)y=arcctgx xϵ(-;+ ф-ясы x=ctgy кері ф-я (arcctgx)' =;

14)(shx)'=(

15) (chx)'=(=

16)(thx)'=(=

17) (cthx)'=(

18.Ф-я диф-ын есе(п-у ере-сі.Бірінші диф-л тұлғ-ң инв-ғы.Б.д.фор-ның инв-ғы df(x)=f '(x)dx (1) туынды мен диф. арас. байл. (1)-ді бірінші диф-ал д.а. Осы (1) форм-мен ф-рдың қосын-ның,көбе-нің,бөлін-нің туын-рын есеп-у форму-рынан ф-ң диф-ын есеп-дің мынандай ережесі шығады: a)d(f±g)=df±dg; b)d(f·g)=gdf+fdg; c)d( [g(x)≠o] Д-уі: a)d(f±g)=(f±g)'dx= d(f '±g')dx=f 'dx±g'dx=df±dg; b)d(f·g)=(fg)'dx=(f 'g+g'f)dx=gdf+fdg;

c)d(; Енді күр-лі ф-яны қара-ық.h(x)=g(f(x)).Егер у тәу-сіз айнымалы б-са,онда dg(y)=g'(y)dy.Ал егер у басқа тәу-сіз айн-ң ф-ясы б-са онда dg(f(x))=(g(f(x))'dx=g'(f(x))·f '(x)dx=g'(f(x)df(x) - (3) н-се dg(f(x))=g'(y)dy...g(y) ф-яның диф-ның (2)ж.е(3) түр-і бірдей:оның аргументі тәу-сіз айн-лы ма не-се басқа бір айн-ның ф-ясы ма бәрібір.Міне осы қасиеті бірінші диф-я форм-ның инвар-ғы д.а.

19.Жоғ-ғы ретті туын-лар мен диф-дар.Лейбниц форм-сы.Егер f ф-ясы Е жиын-ң нүкт-де диф-са,онда оның осы нүк-гі туын-сы Е жиын-да жаңа f '

ф-ясын анық-ды.Егер бұл f ' ф-яның да Е жиын-да (f ') туын-сы бар б-са,онда ол бастапқы ф-яның екінші туын-сы д.a f '' н-е символы арқ. белг. Осы-ша егер f ф-ясының (n-1) ретті туын-сы f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))' арқ-ы анық-ды ж.е f⁽ⁿ⁾(x),арқ-ы белг-ді.f⁽⁰⁾(x) ф-яның нөл-ші ретті туын-сы ф-яның өзіне тең.f⁽⁰⁾(x)=f(x) деп бел-у қаб-ған.Е жиын-да анық-ған үз-сіз ж.е n-ші ретті туын-сы бар ф-ялар класын c⁽ⁿ⁾(E) арқ белг-ді.y=f(x) ф-яның х нүкт-де барлық n-ші ретті туын-ры бар болсын дейік f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ өрнекті f(x) ф-яның х нүкт-гі n-ші ретті диф-лы д.а. ж.е dⁿy=dⁿf=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ→y⁽ⁿ⁾-f⁽ⁿ⁾(x)=-ші ретті диф-дың қаси-рі:1) dⁿ(c·f(x))=cdⁿf(x) 2)dⁿ(f(x)+g(x))=dⁿf(x)+dⁿg(x).Лейбниц фор-сы. Егер ж.е ф-яларының ортақ аны-лу айм-нда

n-ші ретті туы-лары бар болса, онда олардың көбей-ісін n-ші ретті туы-сы - (1) Лейбниц формуласы арқ. есептеледі. Мұ-ғы С_n^m . Д-уді мат-лық индукция әдісімен жүрг-міз.n=1болғ-да(1)фор-ла екі ф-яның көбей-нің туы-сын табу ережесі б-ша дұрыс.Енді (1) фор-аны кез-келген үшін дұрыс деп, үшін де дұрыстығын көрсетейік. Ол үшін (1) фор-сының екі жағын да дифференциалдасақ

. Мұның оң жағын былай (2)

жазып, қосындысында m+1=k десек, онда ол қос-сына көшеді. Енді (2) өрнектегі және соңғы қосы-нда m-ді де, k-ні де l-мен ауыстырсақ, онда болғандықтан. Ал болғандықтан, . Бұдан (1) фор-сының n+1 үшін де дұрыс екенін кө-міз.Демек,мате-лық индукция принципі бойынша (1) Лейбниц формуласы дұрыс.

20. Локальды экстремум. Ферма ж-е Ролль теоремасы.

1-теорема (Ферма теоремасы). Егер жиынында дифференциалданатын функциясының ішкі экстремум нүктесі болса, онда оның бұл нүктедегі туындысы нөлге тең, яғни .

Дәлелдеуі. Функция нүктесінде дифференциалданатын болғандықтан бар және . Анықтылық үшін функциясының нүктесінде төңіректік максимумы бар болсын. Онда болғанда

және

Дәл осылай болғанда

және .

Демек, болғандықтан, . Теорема дәлелденді.

Ескерту. Бұл тек қажетті шарт, жеткілікті шарт емес. Мысалы, функциясының , бірақ нүктесінде экстремум жоқ.

Бұл теореманың геометриялық мағынасы: ішкі төңіректік экстремум нүктесінде функциясының графигіне жүргізілген жанама осіне параллель. Ал ішкі төңіректік экстремум емес нүктелерде бұл теорема дұрыс емес, мысалы, жоғарыдағы мысалда нүктесінде .

2-теорема (Ролль теоремасы). Егер кесіндісінде үзіліссіз функциясы интервалында дифференциалданса және болса, онда аралығынан болатын нүктесі табылады.

Бұл теореманы формальды түрде былай жазуға болады:

Дәлелдеуі. Функция кесіндісінде үзіліссіз болғандықтан Вейерштрасстың 1-ші теоремасы бойынша ол осы кесіндіде шектелген. Онда оның дәл төменгі шекарасы және дәл жоғарғы шекарасы бар. Егер болса, онда , демек, үшін аралығының кез-келген нүктесін алуға болады.

Егер болса, онда теңсіздіктерінің ең болмағанда біреуі орындалады. Айталық, болсын. Онда Вейерштрасстың 2-ші теоремасы бойынша болатын аралығынан ең болмағанда бір нүкте табылады ( өйткені ). Демек, нүктесі функциясының төңіректік максимум нүктесі. Ферма теоремасы бойынша .

Дәл осылай жағдайы да сөзбе-сөз дәлелденеді. Теорема дәлелденді.

Бұл теореманың геометриялық мағынасы: функцияның мәндері тең болатын екі нүкте арасында функция туындысы нөлге тең болатын ең болмағанда бір нүкте табылады немесе функция мәндері тең болатын екі нүкте арасында функция графигіне жүргізілген жанамалардың ең болмағанда біреуі абсцисса осіне параллель.

21. Лагранж, Коши және Дарбу теоремалары.

Ақырлы өсімше туралы Лагранж теоремасы

1-теорема (Лагранж теоремасы). Егер кесіндісінде үзіліссіз функциясы интервалында дифференциалданса, онда

(1)

болатын интервалынан нүктесі табылады.

Қысқаша бұл теореманы былай жазуға болады:

.

Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін көмекші

функциясын құрайық. Бұл функция кесіндісінде үзіліссіз және интервалында дифференциалданады әрі . Демек, бұл функция үшін Ролль теоремасы бойынша , яғни болатын аралығынан нүктесі табылады. Теорема дәлелденді.

Бұл теореманың геометриялық мағынасы: белгілі бір (мұндағы ) нүктесінде функциясының графигіне жүргізілген жанама және нүктелерін қосатын хордаға параллель, өйткені хорданың бұрыштық еселеуіші .

Бұл теореманы Ролль теоремасының көмегімен дәлелдегенімізбен Ролль теоремасының Лагранж теоремасының дербес жағдайы екенін байқаймыз. Өйткені (1) формулада десек, онда Ролль теоремасының қорытындысы шығады.

1. формуланы жиі Лагранждың ақырлы өсімше туралы

формуласы деп атайды. Өйткені оны

, (2)

немесе

, , (2')

түрінде жазуға болады, егер (сонда , өйткені ) деп белгілеулер енгізсек болғаны.

2-теорема (Коши теоремасы). Егер кесіндісінде үзіліссіз және функциялары интервалында диффенренциалданса, онда

(1)

болатын интервалынан ең болмағанда бір нүктесі табылады.

Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін

көмекші функциясын құрайық. Бұл функция кесіндісінде үзіліссіз, интервалында дифференциалданады және . Демек, Ролль теоремасының барлық шарттары орындалған. Сондықтан болатын интервалынан нүктесі табылады, яғни

.Теорема дәлелденді.

Бұл теоремадан Лагранж теоремасы дербес жағдай ретінде шығады, тек десек болғаны.

Егер бұл теоремадан болса, онда (1) формуланы былай жазуға болады:

.

3-теорема (Дарбу теоремасы). Егер функциясы кесіндісінде дифференциалданса және (немесе ) теңсіздіктері орындалса, онда болатын интервалынан ең болмағанда бір нүктесі табылады.

Дәлелдеуі. Дәлелдеу үшін көмекші функциясын құрайық. Бұл функция кесіндісінде дифференциалданады, демек, үзіліссіз. Сонымен бірге

.

Енді болғанда болатын санының табылатынын көрсетейік. Шынында да,

болғандықтан,

(2)

функциясы нүктесінде үзіліссіз. 4-тараудың 3-параграфындағы 3-теорема бойынша болғанда . Онда (2) бойынша . Сонымен, функциясы нүктесінде өзінің ең кіші мәніне ие бола алмайды. Дәл осылай функциясы нүктесінде де өзінің ең кіші мәніне ие бола алмайтыны дәлелденеді. Вейерштрасс теоремасы бойынша функциясы ең кіші мәніне ие болатын интервалынан нүктесі табылады. Сонда Ферма теоремасы бойынша бұл нүктеде , яғни . Теорема дәлелденді.

Бұл теоремадан кесіндісінде дифференциалданатын функциясының туындысы жалпы үзілісті болғанымен өзінің кез-келген екі мәнінің арасындағы кез-келген мәнді қабылдайды, яғни туындысының мәндер жиыны кесінді болады екен.