11.Үзіліссіз функциялар анықтамалары. Үзіліс нүктелері және олардың түрлері. Үзіліссіз функциялардың аралық мәні туралы. Больцано –Коши, Вейерштрасс теоремалары.

Айталық белгілі бір жиынында анықталған нақты мәнді функция, ал оның анықталу аймағының нүктесі болсын.

Егер нүктесінде қабылдайтын функция мәнінің кез-келген маңайы үшін бейнесі осы маңайында жататын нүктесінің Е жиынынан маңайы табылса, онда функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады.

Мұны кванторлар арқылы былай жазар едік функциясы нүктесінде үзіліссіз ).

Сандық бағалауларда аса пайдалы, тіпті қажетті болатын функцияның нүктеде үзіліссіздігінің тіліндегі анықтамасын келтірейік.

() функциясы нүктесінде үзіліссіз

немесе

1-теорема. Айталық жиынының шектік нүктесі болсын. функциясы нүктесінде үзіліссіз сонда және тек сонда, егер .

Дәлелдеуі. Егер нүктесінде үзіліссіз болса, онда болатын нүктесінің маңайы табылады. Сонымен бірге , сондықтан шек анықтамасы орындалады, демек, .

Енді, керісінше, болса, онда маңайы арқылы болатын ойылған маңайын табамыз. Ал болғандықтан, , демек, функция үзіліссіздігінің анықтамасы бойынша функциясы нүктесінде үзіліссіз. Теорема дәлелденді.

Сонымен, бұл критерийден, жиынында анықталған нақты мәнді функциясы жиынынын нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер

болса. Кейде бұны өсімшелер тілінде де жазған ынғайлы. санын функция аргументінің немесе тәуелсіз айнымалының нүктесіндегі өсімшесі деп, ал санын функцияның немесе тәуелді айнымалының өсімшесі деп айтады.

Егер тәуелсіз айнымалының нүктесінде өсімшесі нөлге ұмтылғанда оған сәйкес функциясының өсімшесі нөлге ұмтылса ( яғни ), онда функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды.

Егер функциясының анықталу аймағы кесіндісі болса, онда оның және нүктелерінде бір жақты үзіліссіздік ұғымы енгізіледі.

Егер болса, онда функциясын нүктесінде оң жақты үзіліссіз деп, ал егер болса, онда функциясын нүктесінде сол жақты үзіліссіз деп атайды.

Үзіліссіздіктің анықтамасын шектің анықтамасындағы сияқты тізбектер тілінде де береді: егер шарттарын қанағаттандыратын кез-келген тізбегіне сәйкес тізбегінің шегі бар және ол санына тең болса, онда жиынында анықталған функциясын нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Егер , болатын сандық тізбегіне сәйкес болса, онда функциясын нүктесінде оң жақты үзіліссіз деп айтады. Дәл осылай сол жақты үзіліссіздікті де анықтайды.

функциясы жиынында үзіліссіз деп аталады, егер ол жиынының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса әрі мұны немесе деп те жазады.

функциясы үзіліссіз болатын нүктесі функциясының үзіліссіздік нүктесі деп аталады, ал функциясының үзіліссіздік нүктесі болмайтын нүкте функциясының үзіліс нүктесі деп аталады.

Үзіліс нүктесінің де әртүрлі эквивалентті анықтамалары бар.

Егер берілген саны мен кез-келген саны үшін және теңсіздіктерін қанағаттандыратын саны табылса, онда нүктесін функциясының үзіліс нүктесі деп атайды.

“ функциясы нүктесінде үзіліссіз” - деген тұжырымның керілеуін жазып, нүктесінің функциясының үзіліс нүктесі екендігінің анықтамасын аламыз:

немесе

Егер және шектері бар, бірақ болса, онда нүктесі функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер , шектерінің ең болмағанда біреуі жоқ болса, онда нүктесі функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.

Мысалы, функциясының шектері , демек, нүктесі функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі. Ал

функциясының шегі жоқ, өйткені нөлге жинақталатын тізбегіне сәйкес тізбегі нөлге ұмтылады, ал тағы да бір нөлге жинақталатын тізбегіне сәйкес тізбегі бірге ұмтылады, демек, функция шегінің тізбектер тіліндегі анықтамасы бойынша функциясының оң жақ шегі жоқ. Бірақ яғни функциясы 0 нүктесінде E= жиынында сол жақ үзіліссіз. Сонымен, біздің қарастырып отырған функциямыз 0 нүктесінде екінші текті үзілісті.

Егер функциясының ұмтылғанда шегі бар, бірақ болса, онда нүктесін функциясының жөнделетін үзіліс нүктесі деп атайды. санын функциясының нүктесіндегі секірмесі деп атайды. Өзара тең оң жақ және сол жақ шектері бар, яғни секірмесі нөлге тең функциясын тек бір ғана нүктесінде өзгертіп, сол нүктеде үзіліссіз болатын функция етуге болады, яғни

функциясы нүктесінде үзіліссіз.

Бірсарынды функцияның тек бірінші текті үзіліс нүктелері ғана болуы мүмкін, өйткені ондай функциялардың әр үзіліс нүктесінде бір жақты шегі бар.

функциясын жиынында үзілісті деп айтамыз, егер оның осы жиында ең болмағанда бір үзіліс нүктесі бар болса. жиынында анықталған функциясы бұл жиынды үзіліссіз нүктелерден және үзіліс нүктелерден тұратын екі жиынға жіктейді.

Барлық нүктелерде үзілісті болатын функцияның мысалы

Дирихле функциясы. Шынында да, мұның барлық нүктелері - екінші текті үзіліс нүктелері, өйткені кез-келген нүктенің кез-келген маңайында рационал нүкте де, иррационал нүкте де бар.

Үзіліс нүктелері мен үзіліссіз нүктелер саны ақырсыз болатын функция мысалы

0, егер R/Q,

()=, егер , (-қысқармайтын бөлшек)

Риман функциясы. Бұл функция әрбір рационал нүктеде үзілісті де, ал әрбір иррационал нүктеде үзіліссіз. Ең алдымен нүктесі де, оның маңайы да және саны да қандай болмасын болғанда маңайында жататын рационал сандар саны ақырлы екенін байқаймыз, өйткені мұндағы . Енді маңайды кішірейте отырып, онда жататын барлық рационал сандар бөлімі санынан үлкен болатынын көреміз, әрине тек санынан басқа, егер болса. Сонымен кез-келген нүктесінде Демек, кез-келген нүктесінде

(1)

Мұнан кез-келген иррационал нүктеде Риман функциясының үзіліссіз екенін көреміз, өйткені (1) бойынша иррационал болса

Енді егер рационал болса, онда . Сонда (1) бойынша , яғни нүктесі функциясының жөнделетін үзіліс нүктесі.

1-теорема (Больцано-Коши). Егер кесіндіде үзіліссіз функцияның кесінді ұштарындағы мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда осы кесіндіден функция мәні нөлге айналатын нүкте табылады.

Бұл теореманы логикалық символика арқылы былай жазар едік:

Дәлелдеу. кесіндісін екіге бөлейік. Егер бөлген нүктеде функция нөлге тең болмаса, онда алынған екі кесіндінің біреуінің ұштарында функция әртүрлі таңбалы мән қабылдайды. Оны тағы екіге бөліп, осы процесті жалғастыра береміз. Сонда белгілі бір қадамнан соң болатын нүктесіне түссек теорема дәлелденген болады. Немесе нөлге ұмтылатын енгізілген кесінділер тізбегін аламыз. Бұл жағдайда Коши-Кантор енгізілген принципі бойынша осы алынған кесінділердің бәріне ортақ жалғыз нүктесі табылады. Құрғанымыз бойынша кесіндісінің ұштарынан түзілген болатын және болатын екі тізбегін алдық әрі бұл тізбектер шектері . Тізбек шегінің қасиеті мен үзіліссіздік анықтамасынан және . Сонымен,. Теорема дәлелденді.

2-теорема (Коши). Егер фукциясы кесіндісінде үзіліссіз және болса, онда және сандарының арасындағы кез-келген С саны үшін болатын ең болмағанда бір нүктесі табылады.

Бұны да логикалық символика арқылы былай жазуға болады:

Дәлелдеуі. болғандықтан

,

. Теорема дәлелденді.