1.Кейбір математикалық ұғымдар. Жиындар. Жиндарға қолд. Амалдар.
Біз
математикалық логиканың "керілеу",
"және", "немесе", "туады",
"шығады", "тең мағыналы" деп
аталатын және сәйкес
символдары арқылы белгіленетін
байланыстарын пайдаланатын боламыз.
Сонымен
бірге математикалық сөйлемдерді жазуда
"бар", "табылады", "белгілі
бір" сөздерінің орынына бар
болу кванторы
деп аталатын
логикалық операторын және "кез-келген",
"барлық", "әрбір", "қандай
да болмасын" сөздері үшін жалпылау
кванторы деп аталатын
логикалық операторын жиі қолданатын
боламыз.
Жиын
математикадағы алғашқы және басқа одан
да қарапайым ұғымдар арқылы анықталмайтын
ұғым. Қандай да бір белгілері бойынша
біріктірілген бірнеше заттарды бүтін
бір зат деп қарап, оны жиын деп атап, ал
ондағы әрбір затты жиын
элементі
деп атайды. Мысалы, нақты сандар жиыны
(
),
рационал сандар жиыны (
),
бүтін сандар жиыны (
),
нақты сандар жиыны (N).
Бос
жиын
деп бір де бір элементі жоқ жиынды айтады
және оны
символы арқылы белгілейді.
жиынның ішкі жиыны болады.
Ан:
А
Ан:
А
Ан:
А
Ан:
А
Ан:
А
2.Нақты сандар жиынының негізгі аксиомалары. Sup, inf
жиыны
нақты сандар жиыны деп, ал оның элементтері
нақты сандар деп аталады, егер нақты
сандар аксиоматикасы деп аталатын мына
шарттар орындалса:
1. Қосу аксиомалары
жиынының
және
элементтерінің реттелген әрбір *)
(
)
қосағына
және
қосындысы деп аталатын белгілі бір
элементін сәйкес қоятын қосу операциясы
анықталған. Әрі мына аксиомалар
орындалған:
1-аксиома.
Қосу операциясы коммутативті, яғни
жиынының кез-келген
элементтері үшін әрқашанда
2-аксиома.
Қосу операциясы ассоциативті, яғни
жиынының
кез-келген
элементтері үшін әрқашанда
орындалған.
3-аксиома.
жиынының кез-келген
элементі үшін
теңдігі
орындалатын
жиынында бейтарап элемент 0 бар (қосу
жағдайында бұл элемент нөл
деп аталады).
4-аксиома.
жиынының кез-келген
элементі үшін бұған қарама-қарсы элемент
деп аталатын және
теңдігін
қанағаттандыратын
жиынының
элементі бар.
2. Көбейту аксиомалары
жиынының
және
элементтерінің реттелген әрбір (
)
қосағына
және
көбейтіндісі деп аталатын белгілі бір
элементін сәйкес қоятын көбейту
операциясы анықталған. Әрі мына аксиомалар
орындалған:
5-аксиома.
Көбейту операциясы коммутативті, яғни
жиынының кез-келген
элементтері үшін әрқашанда
теңдігі орындалған.
6-аксиома.
Көбейту операциясы ассоциативті, яғни
жиынының
кез-келген
элементтері үшін әрқашанда
орындалған.
7-
аксиома.
жиынының
кез-келген
элементі үшін
теңдігін
қанағаттандыратын
жиынында
бейтарап элемент 1ғ0 бар (көбейту
жағдайында бұл бірлік элемент деп
аталады).
*)
Реттелген
қосақта
оның
бірінші элементі, ал
оның
екінші элементі деген қосымша белгімен
қамтамасыз етілуін түсінеміз.
8-аксиома.
жиынының кез-келген
элементі үшін бұған кері элемент деп
аталатын және
теңдігін
қанағаттандыратын
жиынының
элементі бар.
-
Қосу және көбейту байланысы
9-
аксиома.
Қосу операциясы арқылы көбейту операциясы
дистрибутивті, яғни
жиынының
кез-келген
элементтері үшін
теңдігі орындалған.