12.Үзіліссіз функцияның кесіндіде шектеулігі: Вейерштрасстың 1-ші, 2-ші теоремалары.

1-теорема (Вейерштрасс). Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде шектеулі.

Дәлелдеуі. кесіндісінде үзіліссіз функциясы осы кесіндіде шектелмеген деп ұйғарайық. Онда Енді деп болатын тізбегін түземіз. Бұл тізбегі шектеулі, демек, Больцано-Вейерштрасс теоремасы бойынша жинақталатын ішкі тізбек бөліп алуға болады. Айталық , болсын. Ал болғандықтан . Сонымен бірге функциясы үзіліссіз болғандықтан . Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені теңсіздігінен және екені шығады. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

2-теорема (Вейерштрасс). Кесіндіде үзіліссіз функция осы кесіндіде өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайды.

Басқаша айтқанда,

Дәлелдеуі. Дәлелдеуді тек дәл жоғарғы шекара үшін ғана жүргізсек болғаны, өйткені

Айталық, болсын. Бізге болатын кесіндісінен нүктесінің табылатынын көрсетсек болғаны. Керісінше, ондай нүкте жоқ деп ұйғарайық. Онда 3 параграфтың 1-теремасы бойынша функциясы кесіндісінде үзіліссіз және осы кесіндіде Ал 1-теорема бойынша функциясы шектелген, яғни Мұнан Бұлай болуы мүмкін емес, өйткені саны функциясын жоғарыдан шектейтін сандардың ең кішісі. Бұл қайшылық теореманы дәлелдейді.

Ескерту. Жоғарыдағы екі теоремада да функцияның тұйық, шектеулі жиында (ондай жиынды компакт деп атайды) үзіліссіздігінің маңызы зор. Мысалы, функциясы тұйық емес жарты сегментінде үзіліссіз, бірақ онда шектелмеген. Ал функциясы бүкіл сан өсінде үзіліссіз (бұл тұйық шектелмеген жиын), бірақ өзінің дәл жоғарғы шекарасы мен дәл төменгі шекарасы мәндерін қабылдай алмайды.

13 Бірқалыпты үзіліссіздік түсінігі. Кантор теоремасы.

f функциясы Х аралығында үзіліссіз болсын.Сонда әрбір нүктесінде кез келген шартын қанағаттандыратын барлық үшін теңсіздігі орындалады.Бұл анықтама бойынша әрбір нүктесі үшін берілген бойынша,жалпы алғанда «меншікті» санын көрсетуге болады,яғни саны тек ғана емес ,ге де тәуелді болады:).Сонымен барлық үшін бірдей жарамды санын көрсетуге болады ма?Бұл сұрақ дұрыс шешілетін функцияларды Х аралығында бірқалыпты үзіліссіз функция деп атайды.

Анықтама Егер кез келген шартын қанағаттандыратын Х аралығының кез келген екі нүктесі және үшін теңсіздігі орындалса ,онда функциясы Х аралығында бірқалыпты үзіліссіз деп аталады.

Мысал : функциясы кесіндісінде бірқалыпты үзіліссіз.Мұны дәлелдеу үшін шартын қанағаттандыратын кез келген екі нүктені қарастырайық.Сонда =|()()|=||||||()<

болады.Демек функциясы кесіндісінде үзіліссіз болады.

Кантор теоремасы:Егер f функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса , онда ол кесіндіде бірқалыпты үзіліссіз болады.

Дәлелдеуі: Қарсы жору тәсілімен дәлелдейік.Айталық қандай да бір мен кез келген үшін нүктелері табылып , ,ал болсын.Енді ақырсыз кіші , тізбегін қарастырайық.Жоғарыда айтылған бойынша әрбір үшін , нүктелері табылып |-|< ал, (1)

болады. тізбегі шенделген демек, Больцано Вейерштрасс теоремасы бойынша,одан кесіндісінің кейбір нүктесіне жинақталған тізбекшесін бөліп шығаруға болады.

Ал (1) теңсіздіктің алдыңғысын ескерсек тізбекшесі де сол нүктесіне жинақталады.нүктесінде функциясы үзіліссіз болғандықтан = ,=.Демек , жағдайда алайда бұл барлық үшін орындалатын (1) теңсіздіктердің екіншісіне қайшы.Ендеше ,теорема дәлелденді.