5.4.2. Перечисление инвестиционных сумм частями

Рассмотрим более общий и привлекательный для инвестора случай. Допустим, что стоимость инвестиционного проекта определена как V_p (долл.). По поводу того, каким образом эта сумма передается инвестором для реализации проекта, может быть не менее двух мнений.

1) С точки зрения компании, реализующей проект, эту сумму желательно получить сразу - в нулевой интервал дискретности.В этом случае компания получает максимальную свободу в обращении с денежными средствами.

2) Инвестор может и не иметь возможности сразу перечислитьV_p (долл.). Тогда ему удобнее заплатить эту сумму по частям, через какие-то промежутки времени (но для компании это менее удобно). При этом возникают два взаимосвязанных вопроса:

• как оценить устойчивость процесса освоения инвестиций при получении денежной суммы по частям?

• насколько изменится устойчивость этого процесса? Ниже попытаемся найти ответ на эти вопросы. Поскольку мы определяли устойчивость процесса освоения инвестиций по виду переходного процесса в условиях, когда не все его внутренние мотивы и механизмы могут быть известны, то соответствующее заключение об устойчивости необходимо доказать. Введем следующие обозначения:

Т_р - время реализации инвестиционного проекта (или переходного процесса);

m - количество частей, на которые разбита сумма, вносимая инвестором;

Т_r - интервал времени, в течение которого инвестор реально, без ущерба для своего бизнеса может перечислить всю сумму в виде m частей, причем Т_г < Т_р (это очевидно);

V_r - сумма, которую инвестор реально внесет в виде m частей; V_i - сумма i-й части, 1 < i < m .

Если Т_r - это продолжительный интервал, то в условиях инвестиционного проекта и в договоре с инвестором можно учесть инфляционные процессы введением коэффициента дисконтирования и увеличением итоговой суммы инвестиций. Поэтому в общем случае (см. рис. 5.3, а) справедливы два соотношения:

Рассмотрим возможную худшую для компании стратегию перечисления денег, когда с течением времени инвестор вносит деньги все реже. Для упрощения математических формул, связанных с устойчивостью (и только), введем два вспомогательных условия:

1) интервал времени Т_r состоит из m составляющих, причем интервал с номером j в два раза меньше интервала с номером j+1, 1<j<m-1;

2) для обеспечения наблюдаемости результатов полагаем, что Т_r< Т₂ / 2 (можно было бы установить и более сильное условие: T_r << Т_р).

Утверждение 1. Если бизнес-план инвестиционного проекта обеспечивает реализацию проекта за время Т_p , а выходная функция х (t), отражающая финансовый результат освоения инвестиции во время переходного процесса, имеет вид (5.9), то выполнение взноса инвестиционной суммы в виде т частей не изменит формулу оценки устойчивости процесса освоения инвестиций по сравнению с одноразовым взносом всей суммы.

Доказательство. С учетом сделанных выше предположений проведем доказательство методом полной математической индукции для любого числа т при выполнении вспомогательных условий 1) и 2).

В начале доказательства считаем, что мы выполнили оценку устойчивости для случая т=1, как это было сделано выше. Далее предположим, что всю сумму невозможно получить сразу. Для определенности считаем, что будут два перечисления: т=2 и V_r = V₁ + V₂ . В этом случае выберем интервал дискретности τ = Т_r / 2 (например, пусть τ - это 5 дней).

Введем в рассмотрение вспомогательную переменную V_s.

Шаг 1. Значение вспомогательной переменной V_s определяем по формуле

поэтому справедливо равенство: V_r = V_s + V_m.

Этап 1. В нулевой интервал дискретности приходит первая сумма V_s Передаточная функция системы, реализующей инвестиционный проект, определяется выражением (5.10).

Реакция системы на приход разовой суммы уже была рассмотрена. В данном случае имеем следующее выражение, почти (т.е. с точностью до множителя-константы) совпадающее с (5.11):

Далее с учетом формул (5.12) и (5.14) получим выражение, почти совпадающее с (5.13):

Этап 2. Вторая сумма V_m приходит в первый интервал дискретности с запаздыванием на время t относительно первой суммы. Относительно теории автоматического управления приход суммы V_m - это дополнительное входное воздействие на процесс. Воспользуемся двумя теоремами (см. табл. 5.3):

• теоремой о сдвиге аргумента во времени - для полученияz-преобразования выходной функции при поступлении только суммы V_m с запаздыванием на время τ ;

• теоремой линейности - для получения z-преобразования выходной функции и общего вида полиномов P_s (z) и Q_s (z) при суммарном воздействии V_s и V_m.

После этого из (5.12) получим

Далее сравним полиномы знаменателя Q (z) и Q (z): они совпадают.

Шаг 2. Увеличим вспомогательную переменную V_s : V_s = V_s + V_m . Количество частей т увеличим на единицу: т=т+1.

Далее рассматриваем только новое значение т. Увеличим период взноса инвестиций в 2 раза: Т_г - 2Т_r. Опять выберем интервал дискретности τ = Т_г/2 . Этот интервал также увеличился в 2 раза, причем т-1 частей суммы величиной V_s перечисляется в течение нулевого интервала дискретности, а сумма V_m - в течение первого интервала.

Перейдем к шагу 1 и убедимся, что для нового значения m устойчивость не ухудшится.

Утверждение доказано.

При осуществлении взносов денег в виде т частей оценка устойчивости производится с помощью (5.16) по формуле для Q_s(z). Причем необходимо отметить следующее:

• интервал дискретности определяется соотношением τ = Т_г/2;

• в общем случае в выражении для Q_s(z) происходит изменение коэффициентов а₀, а₁ , а₂,, b₀, и b₂ (по сравнению с Q(z) ).

Перейдем к общему случаю и предположим, что формула (5.9) несправедлива, так как в ней присутствуют не все значимые тренды.

Утверждение 2. Допустим, что кроме трендов х₁(t), x₂(t) и x₃(t) удалось найти некоторое дополнительное количество J значимых трендов вида

где К_п и L_n - константы относительно t.

Тогда выражение (5.9) изменится и примет вид:

В этом случае формула оценки устойчивости процесса инвестиций по сравнению с одноразовым взносом всей суммы в нулевой момент времени не изменится.

Доказательство. В соответствии с теоремой линейности и правилами получения z-преобразований каждое слагаемое (5.17) добавляет к функции X(z) в выражении (5.14) слагаемое вида:

где R_n(z) - выражение, получающееся в результате соответствующих z-преобразований.

По сравнению с выражением (5.15) можно предположить изменение полиномов в числителе и знаменателе (обозначим их как P*(z) и Q*(z) ). В частности, Q(z) изменится и примет какой-то другой вид: Q*(z). Однако если мы проведем все рассуждения точно так, как доказывали Утверждение 1, то заметим, что формула полинома P*(z) несколько изменится: P(z) ≠ P_s(z) ≠ P*(z), но формула для знаменателя останется неизменной: Q(z) = Q_s(z) = = Q*(z). Изменяются только параметры а₀, а₁ , а₂, b₀,, b₁ и b₂, определяемые из соответствующих бизнес-планов. После этого считаем, что утверждение доказано.