5.3. Теория дискретного управления для анализа экономических систем

5.3.1. Дискретная система и ее передаточная функция

Дискретная управляемая система - это система, в которой на вход хотя бы одной подсистемы (компонента или звена) подается дискретный сигнал. Исходя из такого определения любой объект микроэкономики (предприятие, корпорация, отрасль) является дискретной системой. Дискретный сигнал в отличие от непрерывного связан с дискретными событиями, возникающими в определенные моменты времени; при возникновении этих событий он имеет конкретное значение, в другие моменты времени сигнал считается отсутствующим (или нулевым).

Примеры дискретных событий: факт продажи партии продукции, подписание контракта, перечисление денежной суммы на расчетный счет объекта экономики, завершение фиксированного контрольного периода времени (например, финансового дня), по истечении которого может быть подсчитан баланс предприятия. Контрольный период времени для объекта экономики - это период дискретности т, по завершении которого можно определить точные значения входных воздействий и результатов деятельности объекта в денежном выражении. Внутри интервала дискретности такие значения не определяются.

Дискретный сигнал в зависимости от сложности его назначения может представлять собой некий атом-транзакт, поток транзактов с изменяющейся интенсивностью (в технических системах -дискрет). Сигнал содержит в себе информацию о материальном, информационном или денежном потоке, проходящем через какую-либо подсистему объекта. Подобная информация может быть передана посредством параметров сигнала, поэтому сигнал можно рассматривать как вектор. Будем отображать значения такой информации графически- в виде 8-импульса (рис. 5.6, а) в соответствии с площадью, которая определяется некоторым коэффициентом перед δ-функцией. Под термином «система» далее будем понимать объект микроэкономики вместе с органом управления.

Рис. 5.6. Дискретная система с k степенями свободы:

а - представление дискретной информации; б - система с передаточной функцией W(z) в виде «черного ящика»

5.3.2. Передаточная функция экономической системы

Рассмотрим описание системы относительно переменных «вход => выход». Процесс дискретизации можно описать таким образом:

где f*(t) - функция, описывающая дискретный сигнал в моменты времени nτ ; τ- период дискретности.

Поскольку δ-функция определена на всей временной оси, над функцией /"(О можно выполнить преобразование Лапласа:

Выражение (5.1) является записью дискретного преобразования Лапласа. Однако для описания и анализа дискретных систем управления более компактным и удобным является z-преобразование.

Заменим в выражении (5.1) экспоненту е^pt на переменную z. Далее будем иметь дело с функцией f(t) только в моменты времени t=nτ, n=0, 1,2, ... Фактически мы полностью перешли к дискретной функции f(t) со значениями f(nτ), n=0, 1, 2, ... Причем z-преобразование такой дискретной функции определяется как

Таблицы соответствия вещественных функций-оригиналов и их z-преобразований (изображений на комплексной плоскости) можно найти в математических справочниках. Далее будем использовать некоторые свойства z-преобразований. Основные теоремы, определяющие эти свойства, а также основные используемые преобразования приведены в табл. 5.3.

Введем в рассмотрение передаточную функцию W(z) дискретной системы, изображенной на рис. 5.6, б в виде «черного ящика». Если известны входной сигнал f(t) и его изображение F(z), выходной сигнал х(t) и его изображение X(z), то передаточная функция должна установить соответствие между F(z) и X(z). Соотношение «вход → выход» в системе описывается рекуррентным уравнением k-го порядка (система с k степенями свободы):

Таблица 5.3

где f(nτ) - входная переменная; х (nτ) - выходная переменная; m≤k

Проведя z-преобразование и используя теорему о смещении независимого аргумента на целое число периодов при нулевых начальных условиях, получим соотношение

Введем в рассмотрение две функции:

• функцию w(t) - импульсную характеристику нашей системы;

• W(z) - z-преобразование- функции.

С помощью теоремы о свертке после соответствующих преобразований можно получить следующее выражение:

X(z) = W(z) F(z). (5.4)

Окончательно из (5.2) и (5.3) получим основную формулу, определяющую передаточную функцию W(z) системы:

Передаточная функция любой системы (подсистемы, компонента) - это функция комплексного переменного z. Вещественный модуль передаточной функции определяется по формуле

где Re W(z) - вещественная составляющая передаточной функции; Im W(z) - мнимая составляющая.