IV. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Тема 1. Неопределенный интеграл

[1, гл IX, § 9.1 – 9.3],[4, гл VII]

Эффективным способом интегрирования функций является замена переменной. Его целью является получение с помощью новой переменной более простого интеграла.

Задача 1. Найти

Решение:

Сделаем замену 2x=t. Для нахождения dx через t продифференцируем обе части уравнения:

. Теперь

.

Задача 2. Найти .

Решение: 1-й способ. Сделаем замену

э

Очевидно, выразить dx только через t рациональным способом не удается. Однако после подстановки полученных выражений для и dx через t исходный интеграл принимает вид:

. Можно было поступить по-другому. Нетрудно видеть, что в равенстве левая часть содержит часть подынтегрального выражения, а именно . Поэтому и т.д.

2-й способ. Сделаем другую замену:

и подынтегральное выражение сразу очень просто выражается через t:

.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение первообразной.

2. Что называется неопределенным интегралом? Чем он отличается от первообразной?

3. Каковы основные методы интегрирования?

Тема 6. Определенный интеграл

[3, гл IX, § 9.4-9.6, зад и упр. 6-8,15,16],[4, гл IX, § 1-4].

Одним из наиболее распространенных приложений определенного интеграла является решение физически задач. Если точка движется по некоторой кривой со скоростью V(t)≥0, то путь пройденный точкой за время равен:

Задача 1. Скорость точки равна (м/c). Найти путь, который точка преодолела за время t=4c, прошедшее с начала движения.

Решение: В нашем случае

.

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a;b]?

2. Каковы основные свойства определенного интеграла?

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

4. Каковы особенности нахождения определенного интеграла с помощью подстановки?

5. Какие приложения определенного интеграла Вы знаете?

Задачи для самоконтроля

Найти неопределенные интегралы:

1. а) ; б) ; в) .

2. а) ; б) а) ; в) .

3. а) ; б) ; в) .

4. а) б) ; в) .

5. а) ; б) ; в) .

6. а) ; б) ; в) .

7. а) ; б) 4 в) .

8. а) ; б) ; в) .

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ; б); в) .

Вычислить определенные интегралы:

11. 16.

12. 17.

13. 18.

14. 19.

15. 20.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными ниже линиями. Сделать чертеж.

21. y = x², y = x+2;

22. y = x²-3, y = -2x;

23. y = x²-4x, y = -3;

24. y = 2x²-2x-3, y =x² +3x+3;

25. y = 3x²+2x+1, y =2x² +3x+3;

26. y = x², y =4x-3;

27. y = x²-6, y =5x;

28. y = x²+2x, y 3;

29. y = x²-2x-3, y =2x² –x-5;

30. y = 2x², y =-x²+3.

V. Дифференциальные уравнения.

Для решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида

(1)

Составляют характеристическое квадратное уравнение

(2)

Которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции у соответствующими степенями r, причем сама функция у заменяется единицей. Тогда общее решение уравнения (1) строится в зависимости от дискриминанта Д квадратного уравнения (2).

Практика показывает, что наиболее трудным является случай Д<0, когда уравнение (2) имеет пару сопряженных комплексных корней

где а α и β – действительные числа, причем β>0. Общее решение в этом случае таково:

Задача 1. Найти α и β, если корни уравнения (2) имеют вид:

Решение: Преобразуем выражения для и :

Нетрудно видеть, что

В частном случае, если

Задача 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0,

Решение: Данная задача с начальными условиями носит название задачи Коши. Составим характеристическое уравнение: r²-1=0. Его решениями являются Общее решение уравнения в этом случае (Д>0) находится по формуле , т.е. . (3)

Найдем (4)

Подставим в уравнения (3) и (4) начальные условия:

Решая эту систему, получаем Найденные значения постоянных с₁ и с₂ подставляем в общее решение (3) и получаем искомое решение или