48. Теоремы Больцано-Коши (с доказательством) и Вейерштрасса (формулировки) о свойствах непрерывных на отрезке функций.

Теорема Больцано-Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B.

Доказательство:

Для любого числа С, заключенного между A и B, найдется точка c внутри данного отрезка такая, что f(c ) =C. Прямая y=C пересечет график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(c)=0.

Доказательство:

Пусть существует множество {X}, ограниченное отрезком [a;b] причем а<b, f(a)<0, f(b)>0

Тогда возьмем на отрезке точку t, чтобы f(t)<0.

Отрезок [a;t] такой, что правый конец дает значение <0 (ограничено сверху) имеет Sup.

обозначим Sup = c;

1) Пусть f(c ) <0, тогда по теореме функция в некоторой окрестности сохраняет знак. => с<0 => c`<0 => f(c ) – не является гранью.

2) Пусть f(c ) >0 тогда по теореме c>0 и c`>0 => f(c ) Также не является гранью.

3) Остается только если f(c) = 0.

Теорема Вейерштрасса: 1) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] то она ограничена на данном отрезке.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] то она достигает на нем max и min значения.