33. Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

[a;b] = {x: a<=x<=b} – отрезок (сегмент, замкнутый промежуток);

(a;b) = {x: a<x<b} – интервал (открытый промежуток);

[a;b) = {x: a<=x<b} –

(a;b] = {x: a<x<=b} – полуоткрытые интервалы;

(-∞;b] = {x: x<=b}

(-∞;b) = {x: x<b}

(-∞;+∞) = {x: -∞<x<+∞} = R – Бесконечные интервалы;

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки x0 называется любой интервал (а;b), содержащий точку x0. В частности, интервал (x0- ε, x0+ε), где ε>0, называется ε-окрестностью точки x0. Число x0 называется центром, а число ε – радиусом.

Если x =(x0- ε, x0+ε), то выполняется неравенство x0- ε < x < x0+ε, что означает |x-x0|< ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки x в ε-окрестность точки x0.

Грани числовых множеств:

B – называется верхней гранью множества X, если для любого x из этого множества следует, что x<=B

A – называется нижней гранью множества X, если для любого x из этого множества следует, что x>=A

Точная верхняя грань множества (supX) – наименьшая из всех граней множества.

Точная нижняя грань множества (infX) – наибольшая из всех нижних граней множества.

Существование точной верхней грани: Для существования supX необходимо и достаточно выполнение 2 условий:

1) если x>M, x не принадлежит множеству X;

2) если b<M, то существует x0, такое, что b<x0<M; где M – supX

34. Абсолютная величина и её свойства.

|x| = max{-x;x} – определение абсолютной величины.

1) x<0 => |x|=-x

2) x>0 => |x|=x

Свойства:

1) |x| >=0 a)x>0 => |x|= x>0

б)x<0 => |x|=-x>0

2) -|x|<=x<=|x| a) x>0 -|x|<x=|x|

б) x<0 |x|=-x<=|x|

3)|x|<a a)x>0 -a<0<|x|=x<a

б)x<0 |x|=-x<a

4)|x+y| <= |x|+|y|

-|x|<=x<=|x|

-|y|<=y<=|x|

-(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+|y|

5)|x-y|>=|x|-|y| =>|x|=|x-y+y|<=|x-y|+|y|

|y|=|y+x-x|<=|y+x|+|x|

|x|-|y| <=|x-y|

|y|-|x| <=|x-y|

|x-y|>= max{|x|-|y|;|y|-|x|}

6) |xy|=|x||y|

35. Определение функции, способы её задания. Функции четные, нечетные, монотонные, периодические. Обратная функция. Сложная функция. Суперпозиция функций. Основные элементарные функции. Класс элементарных функций.

Понятние функции:

Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие f, которое каждому элементу x принадлежащему X сопостовляет один и только один элемент у принадлежащий Y, называется функцией и записывается у=f(x), или f: X->Y. Говорят ещё, что функция f отображает множество X на множество Y.

Если элементами множеств X и Y являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией.

Чтобы задать функцию y=f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x, находить соответствующее значение y.

Часто выделяют 3 способа задания функции: аналитический, табличный, графический.