40. Первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел ,

называемый первым замечательным пределом. Читается так: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремиться к нулю.

Доказательство:

Возьмем круг радиуса 1, обозначив радианную меру угла MOB через x. Пусть 0 < x < π/2. На рисунке |AM|=, дуга MB численно равна центральному углу x, |BC| = tgx. Очевидно, имеем На основании соответствующих формул геометрии получаем Разделим неравенства на , получим или . Так как , то по признаку существования пределов ( о пределе промежуточной функции):

41. Второй замечательный предел.

Известно, что предел числовой последовательности имеет предел, равный e.

Данное равенство называется вторым замечательным пределом

42. Пределы, связанные со вторым замечательным.

1. Пусть Каждое значения x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n=[x] – это целая часть x. Отсюда следует поэтому

Если , то . Поэтому имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов:

2. Пусть Сделаем подстановку –x=t, тогда

3. И если произвести замену 1/x =a (a->0 при x->∞), то второй замечательный предел запишется в виде

43. Арифметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.

Переменными могут быть функции и последовательности (n->∞).

Пусть существуют =a;

1);

2)

3)

4) ;

Доказательство:

1) если , то f(x)=a+α(x) в точке x0; то g(x)=b+β(x), где β(x),α(x) – бесконечно малые.

f(x)+g(x) = a+α(x)+b+ β(x) =a+b+β(x)+α(x), где β(x)+α(x)=γ(x) – бесконечно малая величина.

f(x)+g(x)=a+b+γ(x) из этого следует, что ;

3) если , то f(x)=a+α(x) в точке x0; то g(x)=b+β(x), где β(x),α(x) – бесконечно малые.

f(x)*g(x) =(a+α(x))*(b+ β(x))=a*b+a*α(x)+ b*α(x)+α(x)*β(x), где a*α(x)+ b*α(x)+α(x)*β(x)=γ(x) бесконечно малая величина.

f(x)*g(x) = a*b +γ(x), из чего следует, что *b;

4) если , то f(x)=a+α(x) в точке x0; то g(x)=b+β(x), где β(x),α(x) – бесконечно малые.

где =γ(x) – бесконечно малая величина.

, что доказывает

Рассмотрим случай, когда получается неопределенность вида [∞/∞]

Вынесем из числителя и знаменателя x^2 и получаем, что неопределенность ушла, а остались только удобные числа. Так дроби у которых в знаменателе x стремятся к нулю, и получился ответ ½.

Таким образом при появлении неопределенности такого рода, необходимо выносить из числителя и знаменателя x в наибольшей степени, и подставлять в полученное выражение ∞.

Также если максимальные степени x в числителе и знаменателе не одинаковы, то ответ можно дать сразу, если в числителе степень больше, то предел равен бесконечности, а если в знаменателе – нулю

44. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями. Условия непрерывности монотонной функции и существования для ней обратной непрерывности.

Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Данное равенство означает выполнение трех условий:

1) функция f(x) определена в точке x0 и её окрестности;

2) функция f(x) имеет предел при x->x0;

3) предел функции в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство выше.

Так как , то первое равенство можно записать так:

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение x0.

Например, Предел и функция поменялись местами, т.к. функция непрерывна.

Также существует ещё одно определение непрерывной функции: y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она определена в точке x0 и её окрестности и выполняется равенство

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция непрерывна в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция непрерывна на отрезке [a,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке x=a непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т.е. ).

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если x=x0 – точка разрыва функции y=f(x), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точкой разрыва первого рода называется точка, в которой существуют конечные пределы функции слева и справа ( односторонние пределы), т.е.

При этом:

а) если А1=А2, то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

б) если A1 ≠ A2, то точка x0 называется точкой конечного разрыва.

Величину |A1-A2| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точкой разрыва второго рода называется точка, в которой по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Основные теоремы о непрерывных функциях.

T1: Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная ( для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Доказательство:

Пусть функция f(x) и φ(x) непрерывны на некотором множестве X и x0 – любое значение из этого множества. Докажем например непрерывность произведения F(x) = f(x)*φ(x). Применяя теорему о пределе произведения, получим:

Итак мы доказали непрерывность функции f(x)*φ(x) в точке x0.

T2: Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна на [a,b] оси Ox, то обратная функция y=φ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c;d] оси Oy

Приводится без доказательств.

Из приведенных выше теорем вытекает, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.